Massimi e minimi nel dominio

[francesco.android6]

Salve a ! In un compito di analisi che sto risolvendo c'è questo esercizio qui:
Trova massimi e minimi della funzione:

F( $ F(x,y)= 2x^2-2xy+y^2-x+y $

nel dominio $ 4x^2-4xy+2y^2 <= 1 $

Io ho trovato che il determinante hessiano è 4 e che f''x,x è >0 quindi è un minimo relativo.
Ma il dato del dominio cosa implica? cosa dovrei verificare? Vi ringrazio per la risposta

[_prime_number]

Dei punti di max e min che trovi prendi solo quelli che soddisfano la disequazione.

Paola

[mathmum]

"prime_number":Dei punti di max e min che trovi prendi solo quelli che soddisfano la disequazione.

Paola

Non basta.
Poichè il dominio (vincolo) è un insieme chiuso e limitato, per il Teo. di Weiestrass la funzione ammette max e min, che possono essere all'interno del dominio piano o sulla frontiera.
Gli eventuali estremanti interni li scegli tra i punti che annullano il gradiente della funzione assegnata, studiandone il segno del determinante Hessiano e della derivata parziale seconda rispetto ad x, come hai fatto tu ( a me il det(H) viene 8, però - anche se non cambia il risultato della discussione). Io ho ottenuto solo un min in (0,-1/2).
Ora è necessario studiare la frontiera, quindi restringere la funzione assegnata al bordo del dominio piano.
Per fare questo avresti a disposizione tre possibilità:
- studiare le curve di livello della funzione (scomodo in questo caso, perchè non sono facilmente rappresentabili)
- esplicitare il vincolo rispetto a una variabile e sostituire nella funzione assegnata, in modo da studiare max e min di una funzione ridotta a una singola variabile (scomodo in questo caso, perchè l'equazione del vincolo non è facilmente esplicitabile)
- utilizzare una funzione di "appoggio" (la Lagrangiana) e studiare quella, sfruttando il Metodo dei moltiplicatori di Lagrange .
Naturalmente nel tuo caso dovrai utilizzare la 3° opzione, magari dando un'occhiata alla teoria affinchè siano chiare le condizioni necessarie per applicare il metodo, e le modalità d'uso dello stesso.
Buon lavoro,
S.

[francesco.android6]

Grazie immensamente!! mi darò da fare...