Massimi e minimi moltiplicatori di Lagrange
Salve a tutti, sto preparando l'esame di nalisi 2 e mi sono imbattuto in questo esercizio :
Si trovino i punti di massimo e minimo assoluti della funzione $ f(x,y,z)=(x+y+z)^2 $ soggetta a $ x^2+2y^2+3z^2=1 $ .
Ho posto $ L(x,y,z,lambda)=x^2 +y^2 +z^2 +2xy +2xz+2yz +lambdax^2 +2lambday^2+3lambdaz^2 $ $ -1 $
e successivamente svolto il sistema :
$ { ( 2x +2y +2z +2lambdax=0 ),( 2y+2x+2z +4lambday=0),( 2z+2x+2y+6lambdaz=0 ),( x^2+2y^2+3z^2-1=0 ):} $ .
Ora dalle prime tre equazioni noto che i primi 3 addendi sono uguali, .
Sottraendo la seconda equazione alla prima ottengo :
$ 2lambdax=4lambday , x=2y $ .
Analogamente dalle altre 2 :
$ y=3/2 z, x= 3z $ .
Ho sostituito questi valori nella prima equazione iniziale ottenendo :
$ 6z + 3z + 2z + 6lambdaz= 0, z (11+6 lambda)=0 $ .
Quest'ultima equazione è vera per $ z=0 $ o per $ lambda =-11/6 $ .
Ho scartato il primo risultato poiché il punto con coordinata $ z=0 $ non appartiene al vincolo.
A questo punto avendo $ x ,y $ in funzione di $ z $ potrei sostituire tutto nella terza equazione , e trovare i punti. Non sono però certo della correttezza del procedimento, e non avendo risultati per questo esercizio mi rivolgo a qualcuno più competente di me come voi
. Sarò grato a chiunque mi risponderà il prima possibile ( l'esame è lunedì 
)
Si trovino i punti di massimo e minimo assoluti della funzione $ f(x,y,z)=(x+y+z)^2 $ soggetta a $ x^2+2y^2+3z^2=1 $ .
Ho posto $ L(x,y,z,lambda)=x^2 +y^2 +z^2 +2xy +2xz+2yz +lambdax^2 +2lambday^2+3lambdaz^2 $ $ -1 $
e successivamente svolto il sistema :
$ { ( 2x +2y +2z +2lambdax=0 ),( 2y+2x+2z +4lambday=0),( 2z+2x+2y+6lambdaz=0 ),( x^2+2y^2+3z^2-1=0 ):} $ .
Ora dalle prime tre equazioni noto che i primi 3 addendi sono uguali, .
Sottraendo la seconda equazione alla prima ottengo :
$ 2lambdax=4lambday , x=2y $ .
Analogamente dalle altre 2 :
$ y=3/2 z, x= 3z $ .
Ho sostituito questi valori nella prima equazione iniziale ottenendo :
$ 6z + 3z + 2z + 6lambdaz= 0, z (11+6 lambda)=0 $ .
Quest'ultima equazione è vera per $ z=0 $ o per $ lambda =-11/6 $ .
Ho scartato il primo risultato poiché il punto con coordinata $ z=0 $ non appartiene al vincolo.
A questo punto avendo $ x ,y $ in funzione di $ z $ potrei sostituire tutto nella terza equazione , e trovare i punti. Non sono però certo della correttezza del procedimento, e non avendo risultati per questo esercizio mi rivolgo a qualcuno più competente di me come voi
. Sarò grato a chiunque mi risponderà il prima possibile ( l'esame è lunedì )
Risposte
Grazie mille XD
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