Massimi e minimi liberi per funzione a due o più variabili

[sylar91]

Ciao a tutti, ho un piccolo dubbio che mi attanaglia: nel caso in cui dovessimo studiare le caratteristiche dei punti stazionari di una funzione a due o più variabili, il procedimento che adotto io è di trovare i punti stazionari ponendo gradf(x,y)=0, poi mi calcolo la hessiana, mi calcolo i miei autovalori, e controllo se l'hessiana calcolata nei punti stazionari è positiva definita, negativa definita, indefinita, semidefinita positiva, semidefinita negativa. Nel primo caso abbiamo un punto di minimo locale, nel secondo caso un punto di massimo locale, nel terzo caso un punto di sella. Nel caso di matrice semidefinita, cosa possiamo dedurre circa la natura dei punti stazionari? inoltre, se tutti gli autovalori della hessiana sono 0, cosa bisogna fare? bisogna controllare "manualmente" la natura del punto stazionario? grazie per l'attenzione, e buona serata

[Zero87]

"sylar91":inoltre, se tutti gli autovalori della hessiana sono 0, cosa bisogna fare? bisogna controllare "manualmente" la natura del punto stazionario?

Sì, in genere si va a controllare con metodi più "manuali". Uno gettonato, ad es, è quello di vedere se $f(x_0,y)$ e $f(x,y_0)$ - funzioni di una variabile - hanno tutte e due lo stesso tipo di criticità in quel punto $(x_0,y_0)$.
Se questo non funziona si può provare con altre direzioni (tipo come i limiti in 2 variabili) oppure servono altri espedienti a seconda dei casi.
Se, ad esempio, nel punto critico la funzione si annulla, si può vedere intorno ad esso che segno ha: se è sempre positiva quel punto è un minimo se è sempre negativa è un massimo mentre se cambia segno non è né massimo né minimo.

Ne stavo parlando qualche giorno fa proprio in questa sezione di un'eventualità del genere in una discussione di un paio di pagine con Roslyn e gio73: posto il link
viewtopic.php?f=36&t=128412