Massimi e minimi in più variabili
Ciao a tutti!
Spero qualcuno possa darmi qualche input su questo esercizio:
sia $f(x,y)=(x^2+y^2)-2(x^2-y^2)$ trovare i punti critici di $g=f^4$ e stabilire se sono sella, massimi,minimi
ho pensato questo:
$ {\partialg } / {\partialx} (x,y) =4* {\partialf} /{ \partialx} (x,y) f^3(x,y)$
$ {\partialg } / {\partialy} (x,y) =4* {\partialf} /{ \partialy} (x,y) f^3(x,y)$
il gradiente di $g(x,y)$ mi esce della forma:
$\nablag(x,y)=8(3y^2-x^2)^3(-x,y)$ che posto uguale al vettore nullo restituisce i seguenti punti:
$(0,0) , \{ (x,y)| 3y^2-x^2=0 \}$
temo di aver sbagliato qualcosa... ma l'insieme di punti sul piano $R^2$ che cos'è?
Inoltre osservando la funzione data, prima di iniziare lo studio, è possibile già dire qualcosa su com'è fatta $g$?
Grazie a tutti!
Spero qualcuno possa darmi qualche input su questo esercizio:
sia $f(x,y)=(x^2+y^2)-2(x^2-y^2)$ trovare i punti critici di $g=f^4$ e stabilire se sono sella, massimi,minimi
ho pensato questo:
$ {\partialg } / {\partialx} (x,y) =4* {\partialf} /{ \partialx} (x,y) f^3(x,y)$
$ {\partialg } / {\partialy} (x,y) =4* {\partialf} /{ \partialy} (x,y) f^3(x,y)$
il gradiente di $g(x,y)$ mi esce della forma:
$\nablag(x,y)=8(3y^2-x^2)^3(-x,y)$ che posto uguale al vettore nullo restituisce i seguenti punti:
$(0,0) , \{ (x,y)| 3y^2-x^2=0 \}$
temo di aver sbagliato qualcosa... ma l'insieme di punti sul piano $R^2$ che cos'è?
Inoltre osservando la funzione data, prima di iniziare lo studio, è possibile già dire qualcosa su com'è fatta $g$?
Grazie a tutti!
Risposte
Il procedimento è esatto ammesso che tu non abbia sbagliato i calcoli ma non hai ancora terminato. Ora per classificarli devi calcolare la matrice Hessiana, per quanto riguarda il secondo punto quella è una curva di minimi, più precisamente una retta di coefficiente angolare $M=1/sqrt(3)$ se non erro, quindi come sai come classificare i punti critici di una retta e\o curva?
Ok ti seguo fino a un certo punto.. riesco a vedere che è una retta
(ora mi sembra qualcosa del tipo $y= \pm 1/ { \sqrt(3)} |x| $)
posso concludere che su tale retta e sul punto critico $(0,0)$ assume il valore minimo $g=0$ perchè
è una funzione positiva per come è definita $g=f^4$
quindi posso addirittura saltare il calcolo dell'hessiana.. che dici?
volevi farmi notare qualcos'altro?
grazie mille!
(ora mi sembra qualcosa del tipo $y= \pm 1/ { \sqrt(3)} |x| $)
posso concludere che su tale retta e sul punto critico $(0,0)$ assume il valore minimo $g=0$ perchè
è una funzione positiva per come è definita $g=f^4$
quindi posso addirittura saltare il calcolo dell'hessiana.. che dici?
volevi farmi notare qualcos'altro?
grazie mille!
L'hessiano se non erro in presenza di un continuo di punti critici è sempre nullo..
a parte questo direi che si, sono tutti punti di minimo (anch'io mi trovo con i tuoi calcoli)!
a parte questo direi che si, sono tutti punti di minimo (anch'io mi trovo con i tuoi calcoli)!
il metodo che sarebbe più indicato è: restringere la funzione $g=f^4$ alla retta trovata, fai la derivata(dopo la sostituzione la funzione diviene una funzione di una variabile reale) e ne sudi il segno. Oppure, metodo più veloce, calcoli la matrice hessiana( in generale), ma siccome la struttura della funzione è particolare e gode di quella proprietà puoi sicuramente dire che il punto $(0,0)$ è di minimo. 
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