Massimi e minimi in funzioni con due variabili

[manu911]

salve a tutti..
vorrei chiedere il vostro aiuto...
data una funzione di due variabili come faccio a capire se si tratta di un massimo/minimo locale o assoluto?
se è massimo o minimo lo capisco attraverso il test dell'hessiana, ma non mi è ben chiaro come capisco di che "tipologia" si tratta..

grazie mille a tutti per le risposte

[stormy1]

devi esaminare il comportamento della funzione agli estremi del dominio
ad esempio,la funzione $z=x^3-7x^2+12x+2xy+2y^2$,definita in $mathbbR^2$, ha un unico punto di minimo relativo in $(4,-2)$ che non è di minimo assoluto
infatti se resti sull'asse delle x e fai tendere x a $-infty$ anche z tende a $-infty$

[manu911]

grazie mille:)

avrei un'altra domanda, piu che altro è una dimostrazione, ma non mi serve nei minimo particolari...
ho una $f$ differenziabile in un aperto di $RR^2$ devo dimostrare che i punti di minimo di $f$ sono punti critici...
non mi basta dire che i punti critici sono punti in cu il gradiente si annulla e che i punti di minimo( e di massimo) sono punti in cui il piano tangente è orizzontale e il fatto che sia orizzontale implica che il gradiente si annulli in quel punto...
non so se sono stato molto chiaro

[DavideGenova1]

Detto più rigorosamente basta vedere che, se \((x_0,y_0)\) è un estremo locale per \(f(x,y)\), esso è anche un punto di estremo locale per le due funzioni di una variabile \(f_1(t)=f(t,y_0)\) e \(f_2(t)=f(x_0,t)\) perché, per esempio se tale estremo è un minimo, esiste un intorno $U$ di \((x_0,y_0)\) tale che \(\forall\mathbf{x}\ne (x_0,y_0),\mathbf{x}\in U\quad f(\mathbf{x})\leq f(x_0,y_0)\) e ovviamente \((x\ne x_0\lor y\ne y_0)\Rightarrow (x,y)\ne(x_0,y_0)\); se vuoi generalizzare ad un estremo qualunque, vedi che per un massimo vale \(\forall\mathbf{x}\ne (x_0,y_0),\mathbf{x}\in U\quad f(\mathbf{x})\geq f(x_0,y_0)\). Quindi, per il teorema di Fermat per le funzioni di una variabile, $\frac{\text{d}f_1}{\text{d}t}(x_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0$ e $\frac{\text{d}f_2}{\text{d}t}(y_0)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0$. Questo risultato si estende considerando funzioni definite da \(f_i(t)=f(x_1,...,x_{i-1},t,x_{i+1},...,x_n)\) al caso di $f$ funzione di $n$ variabili.
Ciao!