Massimi e minimi in funzione di due varibili.

[svarosky90]

Buongiorno oggi stavo facendo un esercizio. L'esercizio chiede di trovare i massimi e i minimi (non vincolati) della funzione $f(x,y)=e^x(x+y)^2$ Per fare questo calcolo inizialmente le derivate parziali rispetto a x e y per utilizzare il teorema di fermat. $fx(x,y)=e^x(x+y)^2+2e^x(x+y),fy(x,y)=2e^x(x+y)$. Ora devo porre a zero le due derivate. Ovvero $ nabla f(x,y)=<0,0>$. Qui sono fermo nel senso che non riesco a risolvere l'eq in questo modo. C'è un altro modo oppure qualcun o può spiegarmi come risolverla? Grazie in anticipo.

[walter891]

Fin qui è corretto, ricordando le proprietà dell'esponenziale (cioè che non si annulla mai) lo puoi semplificare e le equazioni diventano
$(x+y)^2+2(x+y)=0$
$2(x+y)=0$

[svarosky90]

ho capito comunque il problema è che è 0 quando x=-y e viceversa come faccio a fare il test dell'hessiana con infiniti valori?

[walter891]

la matrice hessiana dovrebbe essere questa
$H=((e^x((x+y)^2+4(x+y)+2) , 2e^x(x+y+2)) , (2e^x(x+y+2) , 2e^x))$
e qui puoi sostituire $x=-y$ ottenendo:
$H(-y,y)=((2e^(-y) , 2e^(-y)) , (2e^(-y) , 2e^(-y)))$
in generale il metoto è applicabile ma siccome questa matrice è singolare non puoi usare il test dell'hessiana

[svarosky90]

Quindi non posso più procedere in questo modo? Presumo che anche con il criterio di sylvester sia la stessa cosa... Come posso fare allora a trovare questi punti?