Massimi e minimi in due variabili
Buonasera, sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
Per il punto a) si vede facilmente che in $A$ si ha $x^2<=1,y^2<=1$ e perciò $0<=u(x,y)<=1$. Ora, dato che $u(0,0)=1$ e $u(+-1,+-1)=0$, è chiaro che il massimo di $u$ su $A-D$ è $1$ e il minimo è $0$
Per il punto b) basta osservare che $U_n:=uuu_{k=1}^{n} B_k$ è un aperto in quanto unione di aperti e di conseguenza $\mathbb(R)^2-U_n$ è un chiuso. Quindi $D_n=A-U_n=A\cap(\mathbb(R)^2-U_n)$ è un chiuso in quanto intersezione di chiusi e perciò compatto (chiuso in un compatto è compatto inoltre è evidentemente limitato perché contenuto in $A$). Perciò per il Teorema di Weierstrass $v$ ammette massimo e minimo su $D_n$
Per il punto c) non so come procedere...
Penso/Spero che i primi due punti siano corretti... Probabilmente nel punto a) il prof voleva che noi studiassimo bene ogni caso ma penso che così sia comunque una soluzione sufficientemente motivata
Per il punto a) si vede facilmente che in $A$ si ha $x^2<=1,y^2<=1$ e perciò $0<=u(x,y)<=1$. Ora, dato che $u(0,0)=1$ e $u(+-1,+-1)=0$, è chiaro che il massimo di $u$ su $A-D$ è $1$ e il minimo è $0$
Per il punto b) basta osservare che $U_n:=uuu_{k=1}^{n} B_k$ è un aperto in quanto unione di aperti e di conseguenza $\mathbb(R)^2-U_n$ è un chiuso. Quindi $D_n=A-U_n=A\cap(\mathbb(R)^2-U_n)$ è un chiuso in quanto intersezione di chiusi e perciò compatto (chiuso in un compatto è compatto inoltre è evidentemente limitato perché contenuto in $A$). Perciò per il Teorema di Weierstrass $v$ ammette massimo e minimo su $D_n$
Per il punto c) non so come procedere...
Penso/Spero che i primi due punti siano corretti... Probabilmente nel punto a) il prof voleva che noi studiassimo bene ogni caso ma penso che così sia comunque una soluzione sufficientemente motivata
Risposte
Si sono corretti, secondo me nel primo voleva trarre in inganno gli studenti, che avrebbero distrattamente potuto pensare che $(0,0)$ non appartenga ad $A-D$... forse, poi va a capire cosa passa nella mente delle persone.
Comunque, per l'ultimo ti basta notare che $D_{n+1}\subseteq D_n$ e come hai già mostrato, essi sono anche compatti, allora vale un teorema che afferma che $\bigcap_{n=1}^{+\infty} D_n \ne \emptyset$. A questo punto poiché $D_{n+1}\subseteq D_n$ allora $D=\lim_{n\to \infty} D_n =\bigcap_{n=1}^{+\infty} D_n \ne \emptyset$ , inoltre $D$ è chiaramente compatto, perché è limitato ( in quanto sottoinsieme di insiemi compatti) ed è chiuso in quanto intersezione numerabile di chiusi(compatti); quindi vale ancora una volta il teorema di Weistrass e la funzione continua $v$ ammette massimo sull'insieme limite, perché esso è compatto e non vuoto, ciò equivale a dire che la successione $\max_{D_n} v$ converge
Comunque, per l'ultimo ti basta notare che $D_{n+1}\subseteq D_n$ e come hai già mostrato, essi sono anche compatti, allora vale un teorema che afferma che $\bigcap_{n=1}^{+\infty} D_n \ne \emptyset$. A questo punto poiché $D_{n+1}\subseteq D_n$ allora $D=\lim_{n\to \infty} D_n =\bigcap_{n=1}^{+\infty} D_n \ne \emptyset$ , inoltre $D$ è chiaramente compatto, perché è limitato ( in quanto sottoinsieme di insiemi compatti) ed è chiuso in quanto intersezione numerabile di chiusi(compatti); quindi vale ancora una volta il teorema di Weistrass e la funzione continua $v$ ammette massimo sull'insieme limite, perché esso è compatto e non vuoto, ciò equivale a dire che la successione $\max_{D_n} v$ converge
Mi sembra di non aver trattato questo teorema nei vari corsi però va bene.
Grazie mille
Grazie mille
è un teorema piuttosto importante, e lo trovi su qualunque libro che parli delle proprietà degli insiemi compatti, in particolare lo trovi nel libro "Analisi Matematica" di Paolo Maurizio Soardi p.70
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo