Massimi e minimi in due variabili

[petrelli92]

Buona sera ragazzi
Vi propongo un esercizio e il mio svolgimento , ne sarei molto grato se sapreste dirmi se sto procedendo nel modo giusto oppure sto facendo ORRORI .
Calcolare estremo superiore e inferiore della funzione $ f(x,y)=(|x|-y)e^{xy} $ .Se ne calcolino inoltre massimo e minimo nell'insieme $[0,1]X[0,1]$
Io procedo in questo modo
Riscrivo la funzione come
$(x-y)e^{xy} $per$ x>0$
$(-x-y)e^{xy}$ per $x\leq0$
Considero prima il caso di x>0
Calcolo le derivate prime rispetto a x e poi rispetto a y
$fx(x,y)=e^{xy}=0$
$fy(x,y)=x^2e^{xy}-e^{xy}-xye^{xy}=0$
Questo sistema non ammette soluzioni(e non le ammette nemmeno per x<=0) quindi non abbiamo massimi e minimi assoluti .
Adesso li calcolo nel quadrato $[0,1]X[0,1]$
Mi riscrivo la frontiera come
$S1:y=0 ;0\leq x\leq 1$
$S2: x=0 ;0\leq y\leq 1$
$S3 : x=1; 0\leq y\leq 1$
$S4: y=1 ; 0\leq x\leq 1$
Procedo con il calcolo dei massimi e minimi in S1 $y=0$ e $ 0\leq x\leq 1$
$g(x)=x $ e $g'(x)=1$ che appartiene all'insieme preso in considerazione quindi avremo il punto $(0,1)$
PEr $S2= x=0; 0\leq y\leq 1$ avrò $g(y)=-y$ e $g'(y)=-1$ che non fa parte del nostro insieme quindi lo escludiamo
Per $S3= x=1 ;0\leq y\leq 1$ avremo $g(y)=(1-y)e^y $ e $g'(y)=-ye^y=0$ quindi otterremo il punto $(0,1)$
Per $S4= y=1 0\leq x\leq 1$ avremo $g(x)=(x-1)e^x $ e $g'(x)=xe^x$ e otteniamo il punto $(0,1)$

Adesso vorrei sapere se questi punti trovati li devo sostituire nella $f(x,y)$ iniziale e trovare un valore che mi dica qual'è effettivamente di massimo e minimo , come sono andato? GRAZIE ANTICIPATAMENTE

[quantunquemente]

oddio,qualche orrore c'è
per $x>0$ le derivate parziali valgono
$f_x(x,y)=e^(xy)+(x-y)ye^(xy)=e^(xy)(1+xy-y^2)$
$f_y(x,y)=-e^(xy)+(-x-y)xe^(xy)=e^(xy)(-1-x^2-xy)$
ragiona analogamente per $x<0$
nell'origine,se non erro,la funzione non è neanche derivabile parzialmente rispetto ad $x$

p.s : il resto dell'esercizio non l'ho guardato