Massimi e minimi in due variabili

[jenvirgilio]

Ciao a tutti! Sto avendo difficoltà a risolvere un esercizio in cui mi si chiede di determinare massimi e minimi relativi e assoluti di una funzione nel suo dominio di definizione.
La funzione è: f(x,y)=ln(xy)-xy+2
Sarà definita laddove xy>0
Procedo nel calcolo delle derivate parziali e le pongo uguali a zero per determinare i punti stazionari.
Rispetto a x otterrò: 1/y-x=0
Rispetto a y: 1/y-x=0
Da cui otterrò infiniti punti stazionari del tipo: P=(1/y,y) e P=(x,1/x) con la condizione che x e y siano maggiori di zero.
Procedo nello studio di Δf>0, per ora rispetto alla prima tipologia di punto stazionario individuato. otterrò: Δf= ln(xy)-xy+1>0

Qui mi sono bloccata! Suggerimenti su come studiare questa disequazione?
Non posso utilizzare l'asintotico secondo Taylor per semplificarmi l'equazione, nè riesco ad immaginarmi come potrebbe essere il grafico di ln(xy)>xy-1..

Grazie a chi mi vorrà aiutare!!

[quantunquemente]

un'idea potrebbe essere quella di porre $z=xy$ e andare ad analizzare la funzione $g(z)=lnz-z+2 $ nel punto $z=1$

[jenvirgilio]

Ma così facendo non ottengo che z è sempre maggiore di ln(z)+ 1?
Se è così allora Δf(1/y,y) non sarà mai >0 quindi gli infiniti punti saranno punti di massimo, perchè "vedono" attorno a sè tutti punti più piccoli. Corretto?

[quantunquemente]

scusa se uso la mia terminologia,senza $Deltaf$,ma alla fine concordiamo nel risultato
la funzione $g(z)$ ha nel punto $z=1$ un punto di max relativo che è anche max assoluto
quindi ,la tua funzione di partenza ha in tutti i punti della curva $xy=1$ punti di max rel e ass

[jenvirgilio]

Perfetto! Grazie mille per il tuo prezioso aiuto