Massimi e minimi in 2 variabili
Determinare eventuali punti di massimo e minimo assoluti della funzione:
$ f(x,y) = sinx + siny $ sotto la condizione $ cosx - cosy + 1 = 0 $
Sto risolvendo questo esercizio con i moltiplicatori di Lagrange. Alla fine mi viene fuori il seguente sistema:
$ { ( cosx + lambda sinx = 0 ),( cosy + lambda siny = 0 ),( cosx - cosy + 1 = 0 ):} $
Avete idea di come si risolva?
$ f(x,y) = sinx + siny $ sotto la condizione $ cosx - cosy + 1 = 0 $
Sto risolvendo questo esercizio con i moltiplicatori di Lagrange. Alla fine mi viene fuori il seguente sistema:
$ { ( cosx + lambda sinx = 0 ),( cosy + lambda siny = 0 ),( cosx - cosy + 1 = 0 ):} $
Avete idea di come si risolva?
Risposte
Se la lagrangiana che usi è questa:
$$L(x,y,\lambda)=\sin x+\sin y-\lambda(\cos x-\cos y+1)$$
allora le tre equazioni sono
$$\cos x+\lambda\sin x=0,\quad \cos y-\lambda\sin y=0,\ \cos x-\cos y+1=0$$
Osserva che dalle prime due si ha
$$\lambda=-\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\cos y}{\sin y}$$
quando $x\ne k\pi,\ y\ne h\pi$. In questo caso si ha allora
$$\sin x\cos y+\sin y\cos x=0\ \Rightarrow\ \sin(x+y)=0$$
avendo usato la formula di addizione del seno. Quindi $x+y=n\pi,\ n\in ZZ$.Ricavando $y$ in funzione di $x$ e sostituendo nella terza si ricava
$$\cos x-\cos(n\pi-x)+1=0\ \Rightarrow\ \cos x-\cos(n\pi)\cos x+\sin(n\pi)\sin x+1=0$$
dove ho usato la formula di sottrazione del coseno. Poiché $\sin(n\pi)=0,\ \cos(n\pi)=(-1)^n$ abbiamo
$$\cos x-(-1)^n\cos x+1=0$$
per cui
$i)$ se $n=2r+1$ è dispari si ha
$$\cos x-(-1)\cos x+1=0\ \Rightarrow\ 2\cos x+1=0\ \Rightarrow\ \cos x=-1/2\ \Rightarrow\\ x=\frac{2\pi}{3}+2m\pi\ \vee\ x=\frac{4\pi}{3}+2m\pi,\qquad m\in\mathbb{Z}$$
da cui
$$y=(2r+1)\pi-\frac{2\pi}{3}+2m\pi\ \vee\ y=(2r+1)\pi-\frac{4\pi}{3}+2m\pi,\qquad n,m\in\mathbb{Z}$$
o meglio
$$y=-\frac{2\pi}{3}+(2s+1)\pi\ \vee\ y=-\frac{4\pi}{3}+(2s+1)\pi,\qquad s\in\mathbb{Z}$$
in quanto $2r+1+2m$ risulta un numero dispari. Inoltre, sostituendo nella funzione tali soluzioni si ottiene
$$\sin\left(\frac{2\pi}{3}+2m\pi\right)+\sin\left(-\frac{2\pi}{3}+(2s+1)\pi\right)=0\ \Rightarrow\ \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$
$$\sin\left(\frac{4\pi}{3}+2m\pi\right)+\sin\left(-\frac{4\pi}{3}+(2s+1)\pi\right)=0\ \Rightarrow\ -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$$
e pertanto i punti
$$A=\left(\frac{2\pi}{3}+2m\pi,-\frac{2\pi}{3}+(2s+1)\pi\right)$$
risultano massimi, mentre i punti
$$B=\left(\frac{4\pi}{3}+2m\pi,-\frac{4\pi}{3}+(2s+1)\pi\right)$$
minimi.
$ii)$ se $n=2r$ è pari, allora
$$\cos x-(1)\cos x+1=0\ \Rightarrow\ 1=0$$
e quindi non si hanno soluzioni accettabili.
Resta da vedere cosa accade quando $x=k\pi$ o $y=h\pi$ (o entrambe).
Se $x=k\pi$, la prima equazione si riduce a $(-1)^k=0$ che non ha soluzioni.
Analogamente se $y=h\pi$ la seconda non ha soluzioni.
Pertanto possiamo concludere che gli unici punti estremali sono quelli già determinati, e che in particolare i punti del tipo $A$ sono massimi assoluti, mentre quelli di tipo $B$ mini assoluti.
$$L(x,y,\lambda)=\sin x+\sin y-\lambda(\cos x-\cos y+1)$$
allora le tre equazioni sono
$$\cos x+\lambda\sin x=0,\quad \cos y-\lambda\sin y=0,\ \cos x-\cos y+1=0$$
Osserva che dalle prime due si ha
$$\lambda=-\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\cos y}{\sin y}$$
quando $x\ne k\pi,\ y\ne h\pi$. In questo caso si ha allora
$$\sin x\cos y+\sin y\cos x=0\ \Rightarrow\ \sin(x+y)=0$$
avendo usato la formula di addizione del seno. Quindi $x+y=n\pi,\ n\in ZZ$.Ricavando $y$ in funzione di $x$ e sostituendo nella terza si ricava
$$\cos x-\cos(n\pi-x)+1=0\ \Rightarrow\ \cos x-\cos(n\pi)\cos x+\sin(n\pi)\sin x+1=0$$
dove ho usato la formula di sottrazione del coseno. Poiché $\sin(n\pi)=0,\ \cos(n\pi)=(-1)^n$ abbiamo
$$\cos x-(-1)^n\cos x+1=0$$
per cui
$i)$ se $n=2r+1$ è dispari si ha
$$\cos x-(-1)\cos x+1=0\ \Rightarrow\ 2\cos x+1=0\ \Rightarrow\ \cos x=-1/2\ \Rightarrow\\ x=\frac{2\pi}{3}+2m\pi\ \vee\ x=\frac{4\pi}{3}+2m\pi,\qquad m\in\mathbb{Z}$$
da cui
$$y=(2r+1)\pi-\frac{2\pi}{3}+2m\pi\ \vee\ y=(2r+1)\pi-\frac{4\pi}{3}+2m\pi,\qquad n,m\in\mathbb{Z}$$
o meglio
$$y=-\frac{2\pi}{3}+(2s+1)\pi\ \vee\ y=-\frac{4\pi}{3}+(2s+1)\pi,\qquad s\in\mathbb{Z}$$
in quanto $2r+1+2m$ risulta un numero dispari. Inoltre, sostituendo nella funzione tali soluzioni si ottiene
$$\sin\left(\frac{2\pi}{3}+2m\pi\right)+\sin\left(-\frac{2\pi}{3}+(2s+1)\pi\right)=0\ \Rightarrow\ \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$
$$\sin\left(\frac{4\pi}{3}+2m\pi\right)+\sin\left(-\frac{4\pi}{3}+(2s+1)\pi\right)=0\ \Rightarrow\ -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$$
e pertanto i punti
$$A=\left(\frac{2\pi}{3}+2m\pi,-\frac{2\pi}{3}+(2s+1)\pi\right)$$
risultano massimi, mentre i punti
$$B=\left(\frac{4\pi}{3}+2m\pi,-\frac{4\pi}{3}+(2s+1)\pi\right)$$
minimi.
$ii)$ se $n=2r$ è pari, allora
$$\cos x-(1)\cos x+1=0\ \Rightarrow\ 1=0$$
e quindi non si hanno soluzioni accettabili.
Resta da vedere cosa accade quando $x=k\pi$ o $y=h\pi$ (o entrambe).
Se $x=k\pi$, la prima equazione si riduce a $(-1)^k=0$ che non ha soluzioni.
Analogamente se $y=h\pi$ la seconda non ha soluzioni.
Pertanto possiamo concludere che gli unici punti estremali sono quelli già determinati, e che in particolare i punti del tipo $A$ sono massimi assoluti, mentre quelli di tipo $B$ mini assoluti.
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