Massimi e Minimi Funzioni Di Due Variabili

[TS778LB]

Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi della seguente funzione nel suo insieme di definizione
$ f(x,y)=x^2-4xy^2+y^4 $
Ho determinato e posto uguale a zero le due derivate parziali:
$ { ( f_x=2x-4y^2=0 ),( f_y=-8xy+4y^3=0 ):} $
$ { ( 2(x-2y^2)=0 ),( 4y(y^2-2x)=0 ):} $
Dalla prima risulta $ x=2y^2 $ che, sostituito nella seconda dà $ -12y^3=0->y=0 $. L'unico punto critico è $ (0,0) $.
Ho calcolato le derivate parziali seconde e costruito l'Hessiana:
$ H_{f}(x,y)=( ( 2 , -8y ),( -8y , -8x+12y^2 ) ) ->detH_{f}(x,y)=2(-8x+12y^2)-(8y)^2 $
Il determinante dell'Hessiana è nullo in $ (0,0) $.
Ho provato a restringere la funzione di partenza su più curve e, in tutti i casi, ritrovo funzioni che hanno un minimo in $ (0,0) $. Ad esempio:
$ f(x,0)=x^2 minx=0 $
$ f(0,y)=y^4 miny=0 $
$ f(x,x)=x^2-4x^3+x^4 minx=0 $
So che questo non è sufficiente a dire che $ (0,0) $ sia un punto di minimo per $ f(x,y) $. Volevo allora passare allo studio dei segni della funzione determinando in prima analisi i suoi zeri ma non riesco ad individuarli facilmente data la sua forma analitica. Come posso procedere?
Grazie in aniticpo

[Studente Anonimo]

Si tratta di un punto di sella:

$x^2-4xy^2+y^4=$

$=(x-2y^2)^2-3y^4=$

$=(x-2y^2+sqrt3y^2)(x-2y^2-sqrt3y^2)=$

$=[x-(2-sqrt3)y^2][x-(2+sqrt3)y^2]$

Parabola 1

$x=(2-sqrt3)y^2$

Parabola 2

$x=(2+sqrt3)y^2$