Massimi e minimi funzioni 1 variabile
salve volevo cheidere una cosa... quando vado a trovare i massimi e minimi du una funzione di una variabile e vado a fare la derivata prima della funzione... però mi trovo che essa è sempre diversa da $0$ ...cosa posso concludere??
e se è sempre uguale a $0$ ?
cos aconcludo in questo caso?
se potete rispondetremi grazie mille
e se è sempre uguale a $0$ ?
cos aconcludo in questo caso?
se potete rispondetremi grazie mille
Risposte
Intanto questa cosa ha senso farla solo se la funzione è derivabile... Ciò detto, nell'ipotesi che sia derivabile,
l'annullarsi della derivata prima è condizione solamente necessaria, e non sufficiente,
affinché il punto sia di massimo o di minimo. Si può dire solo che se si annulla in un punto, allora si tratta di un punto critico.
Per verificare, una volta che si è stabilito di essere in presenza di un punto critico,
se si tratta effettivamente di un massimo o di un minimo, sempre rimanendo nell'ipotesi che la funzione sia derivabile, si può studiarne
la monotonia, quindi studiare il segno della derivata prima in un intorno del punto.
Se la funzione fosse derivabile due volte, si potrebbe vedere quanto fa la derivata seconda in quel punto e stabilire subito se si tratta di un max o di un min.
Rispondendo alla tua domanda, quindi: se f è definita in $D sube RR$, D aperto, per esempio $(0,1)$
e $f'(x)!=0$ per ogni $x in D$ allora non ci sono punti critici, e dunque non ci sono punti di massimo o di minimo.
Questa cosa non è vera in generale se D è un insieme chiuso. Prendi per esempio la funzione $f$ tale che
$f(x)=arcsinx$ per ogni $x in [-1,1]$. Allora $f'(x)$ non si annulla mai in $D$, ciononostante esistono il
massimo e il minimo di $f$ in $D$: infatti il primo è pari $pi/2$, il secondo a $-pi/2$.
Se invece avessimo preso $D=(-1,1)$, avremmo potuto concludere soltanto che $text(sup)_D f = pi/2$, $text(inf)_D f = -pi/2$,
ma non che questi due valori fossero rispettivamente il massimo e il minimo di f in D, dato che D è aperto.
In questo caso si può dire che, poiché $D$ è aperto, $f$ è derivabile e $f'$ non si annulla mai, allora $f$ non ammette
massimo e minimo in $D$, ma solo estremo superiore e inferiore.
l'annullarsi della derivata prima è condizione solamente necessaria, e non sufficiente,
affinché il punto sia di massimo o di minimo. Si può dire solo che se si annulla in un punto, allora si tratta di un punto critico.
Per verificare, una volta che si è stabilito di essere in presenza di un punto critico,
se si tratta effettivamente di un massimo o di un minimo, sempre rimanendo nell'ipotesi che la funzione sia derivabile, si può studiarne
la monotonia, quindi studiare il segno della derivata prima in un intorno del punto.
Se la funzione fosse derivabile due volte, si potrebbe vedere quanto fa la derivata seconda in quel punto e stabilire subito se si tratta di un max o di un min.
Rispondendo alla tua domanda, quindi: se f è definita in $D sube RR$, D aperto, per esempio $(0,1)$
e $f'(x)!=0$ per ogni $x in D$ allora non ci sono punti critici, e dunque non ci sono punti di massimo o di minimo.
Questa cosa non è vera in generale se D è un insieme chiuso. Prendi per esempio la funzione $f$ tale che
$f(x)=arcsinx$ per ogni $x in [-1,1]$. Allora $f'(x)$ non si annulla mai in $D$, ciononostante esistono il
massimo e il minimo di $f$ in $D$: infatti il primo è pari $pi/2$, il secondo a $-pi/2$.
Se invece avessimo preso $D=(-1,1)$, avremmo potuto concludere soltanto che $text(sup)_D f = pi/2$, $text(inf)_D f = -pi/2$,
ma non che questi due valori fossero rispettivamente il massimo e il minimo di f in D, dato che D è aperto.
In questo caso si può dire che, poiché $D$ è aperto, $f$ è derivabile e $f'$ non si annulla mai, allora $f$ non ammette
massimo e minimo in $D$, ma solo estremo superiore e inferiore.
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