Massimi e minimi funzione in due variabili
Ciao, mi si chiede di determinare massimo e minimo assoluto della funzione:
$ f(x,y)=(x-y)^2(x+y) $ in $ D={(x,y) \inR^2 : x^2+y^2<=1,x+y>=0} $
Per il teorema di Weierstrass, essendo un insieme compatto, in esso la funzione ammetterà massimo e minimo assoluto. Inoltre, per la condizione necessaria, trovo che i punti interni alla semicirconferenza individuata da D tali per cui $ f_x=f_y=0 $ sono $ (0,0) $ e quelli giacenti sulla bisettrice del I e III terzo quadrante. Andando a studiare la variazione della funzione in questi punti, noto che non assume mai segno costante, quindi non sono estremi relativi. Mi date conferma di ciò?
Allora ho pensato che questi punti di massimo e minimo stiano sulla frontiera, che ho parametrizzato in questo modo:
$ { ( x(t)=cost ),( y(t)=sint ):} t\in [-pi/4,3/4pi] $
Quando vado a studiare la funzione sulla frontiera, ho che il punto di massimo è per $ t=pi/2 -1/2arcsin(-1/3) $ e quello di minimo per $ t=pi/4 $. Quest'ultimo punto può davvero essere di minimo, anche se si trova sulla bisettrice del I e III quadrante? Grazie dell'aiuto!
$ f(x,y)=(x-y)^2(x+y) $ in $ D={(x,y) \inR^2 : x^2+y^2<=1,x+y>=0} $
Per il teorema di Weierstrass, essendo un insieme compatto, in esso la funzione ammetterà massimo e minimo assoluto. Inoltre, per la condizione necessaria, trovo che i punti interni alla semicirconferenza individuata da D tali per cui $ f_x=f_y=0 $ sono $ (0,0) $ e quelli giacenti sulla bisettrice del I e III terzo quadrante. Andando a studiare la variazione della funzione in questi punti, noto che non assume mai segno costante, quindi non sono estremi relativi. Mi date conferma di ciò?
Allora ho pensato che questi punti di massimo e minimo stiano sulla frontiera, che ho parametrizzato in questo modo:
$ { ( x(t)=cost ),( y(t)=sint ):} t\in [-pi/4,3/4pi] $
Quando vado a studiare la funzione sulla frontiera, ho che il punto di massimo è per $ t=pi/2 -1/2arcsin(-1/3) $ e quello di minimo per $ t=pi/4 $. Quest'ultimo punto può davvero essere di minimo, anche se si trova sulla bisettrice del I e III quadrante? Grazie dell'aiuto!
Risposte
"Robert96":
$ f(x,y)=(x-y)^2(x+y) $ in $ D={(x,y) \inR^2 : x^2+y^2<=1,x+y>=0} $
Per il teorema di Weierstrass, essendo un insieme compatto, in esso la funzione ammetterà massimo e minimo assoluto. Inoltre, per la condizione necessaria, trovo che i punti interni alla semicirconferenza individuata da D tali per cui $ f_x=f_y=0 $ sono $ (0,0) $ e quelli giacenti sulla bisettrice del I e III terzo quadrante. Andando a studiare la variazione della funzione in questi punti, noto che non assume mai segno costante, quindi non sono estremi relativi. Mi date conferma di ciò?
come no?!
La retta b ha equazione $y=x$, quindi la funzione calcolata nei punti di b vale $f(x,x)=(x-x)^2(x+x)=0$.
Ciao, grazie per la risposta! Però, se non ho sbagliato qualcosa, ho studiato $ Delta f=f(x,y)-f(x,x) $ che sull'asse delle ascisse è positiva per $ x>0 $, mentre sull'asse delle ordinate è positiva per $ y>0 $. Dunque non riesco ad "estrarre" un intorno in cui la variazione assume segno costante...
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