Massimi e minimi funzione a due variabili
Determinare gli estremi assoluti della funzione $f(x,y)=2xy$ nel dominio limitato la cui frontiera è l'ellisse di equazione $x^2/8+y^2/18=1$
Per calcolare i minimi e massimi ho calcolato la $f_x=2y$ e la $f_y=2x$, ho imposto le due derivate pari a 0 e ho costruito il sistema per trovare i punti critici e vedere in base all'Hessiano di che tipo sono, ma l'unico punto critico che ne esce è $O(0;0)$ mentre la soluzione del libro è: $minf=-12=f(-2;3)=f(2;-3)$ e $maxf=12=f(2;3)=f(-2;3)$.
Potreste dirmi dove sbaglio?
Per calcolare i minimi e massimi ho calcolato la $f_x=2y$ e la $f_y=2x$, ho imposto le due derivate pari a 0 e ho costruito il sistema per trovare i punti critici e vedere in base all'Hessiano di che tipo sono, ma l'unico punto critico che ne esce è $O(0;0)$ mentre la soluzione del libro è: $minf=-12=f(-2;3)=f(2;-3)$ e $maxf=12=f(2;3)=f(-2;3)$.
Potreste dirmi dove sbaglio?
Risposte
Gli estremi assoluti non devono per forza essere assunti su punti stazionari.. in quel caso siccome la funzione è continua e differenziabile su $RR^2$ e sul suo dominio, e siccome l'unico punto stazionario è l'origine, è chiaro che devi andare a studiare la frontiera.
scusa l'ignoranza, dovuta ad una prof poco preparata o che comunque non si dedica agli esercizi, ma cosa intendi per studiare la frontiera?
Devi parametrizzare l'ellisse e studiare la funzione in una variabile dei valore assunti dalla $f(x,y)$ su quella curva. Il minimo o il massimo assoluti se ci sono sono lì.
Cerca la strada più furba per andare a studiare la funzione sulla frontiera...ad esempio se riuscissi a ricondurti a una funzione di una sola variabile ti semplificherebbe di molto.
Ho svolto l'esercizio e penso tu abbia sbagliato a riportare la soluzione: dovrebbe essere $max f = f(pm 2, pm 3)=12$.
"Camillo":
Cerca la strada più furba per andare a studiare la funzione sulla frontiera...ad esempio se riuscissi a ricondurti a una funzione di una sola variabile ti semplificherebbe di molto.
cosa intendi?
Quello che ti ho detto io.. anche perchè penso che ricondurti ad una funzione di una sola variabile sia l'unico modo..
Sai scrivere quell'ellisse come una funzione vettoriale da $RR->RR^2$?
Sai scrivere quell'ellisse come una funzione vettoriale da $RR->RR^2$?
L'equazione dell'ellise si può scrivere in forma parametrica, in funzione di una sola variabile.
Una volta scritta l'equazione dell'ellisse in forma parametrica ${ ( x=acost=2sqrt(2)cost ),( y=bcost=3sqrt(2)sent ):}$ mi viene un dubbio...la $x$ e la $y$ devono essere sostituite nell'equazione iniziale $f(x,y)=2xy$, vero?
e quindi avrò $f(2sqrt2cost,3sqrt2sent)=24sent cost$
Ora devo calcolare la derivata prima ed imporla pari a 0 per trovare massimi e minimi, giusto?
$f'(2sqrt2cost,3sqrt2sent)=24cos^2t - 24sen^2t=0 ->cos^2t-1+cos^2t=0 ->cos^2t=1/sqrt2=sqrt2/2 -> t=\pm pi/4$
e quindi avrò $f(2sqrt2cost,3sqrt2sent)=24sent cost$
Ora devo calcolare la derivata prima ed imporla pari a 0 per trovare massimi e minimi, giusto?
$f'(2sqrt2cost,3sqrt2sent)=24cos^2t - 24sen^2t=0 ->cos^2t-1+cos^2t=0 ->cos^2t=1/sqrt2=sqrt2/2 -> t=\pm pi/4$
Giusto, e ti consiglio di notare che $24sentcost=12sen(2t)$
risolto e mi trovo con il risultato! grazie!
"Giuly19":
Ho svolto l'esercizio e penso tu abbia sbagliato a riportare la soluzione: dovrebbe essere $max f = f(pm 2, pm 3)=12$.
e comunque anch'io mi son trovata sempre con $minf=maxf=12$ e non $-12$ ...sarà stato un errore del libro!
No mi sembra impossibile che succeda quello che hai scritto! XD
Io intendevo dire che c'è un errore nel punto in cui viene assunto l'estremo, anche perchè nelle soluzioni che hai riportato hai scritto che in un punto dovrebbe esserci sia un massimo che un minimo..
Io intendevo dire che c'è un errore nel punto in cui viene assunto l'estremo, anche perchè nelle soluzioni che hai riportato hai scritto che in un punto dovrebbe esserci sia un massimo che un minimo..
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