Massimi e minimi funzione a due variabili
Salve,
l'esercizio chiede di determinare massimi e minimi di questa funzione: $ x^2y+xy^2-xy $ su l'insieme di definizione:T= $ {(x,y ) in RR ^2 , x geq 0 , y geq 0 ,x+yleq 1 } $ .
La prof. ha determinato i punti critci con le derivate prime e quindi con il gradiente ed escono i seguenti punti critici : (0,0),(1,0),(0,1),(1/3,1/3);
a questo punto la prof.saltando molti passaggi per mancanza di tempo(ed è per questo che mi son perso) ha determinato come minimo f(1/3,1/3)=-1/27
e poi è andata a calcolare i valori sugli estremi del dominio andando a determinare semplicemente sostituendo alla funzione iniziale ,che il punto di max è zero.
Il mio dubbio è quindi:come ha fatto a determinare il punto di minimo?Devo usare la matrice hessiana?e quelli di max?
l'esercizio chiede di determinare massimi e minimi di questa funzione: $ x^2y+xy^2-xy $ su l'insieme di definizione:T= $ {(x,y ) in RR ^2 , x geq 0 , y geq 0 ,x+yleq 1 } $ .
La prof. ha determinato i punti critci con le derivate prime e quindi con il gradiente ed escono i seguenti punti critici : (0,0),(1,0),(0,1),(1/3,1/3);
a questo punto la prof.saltando molti passaggi per mancanza di tempo(ed è per questo che mi son perso) ha determinato come minimo f(1/3,1/3)=-1/27
e poi è andata a calcolare i valori sugli estremi del dominio andando a determinare semplicemente sostituendo alla funzione iniziale ,che il punto di max è zero.
Il mio dubbio è quindi:come ha fatto a determinare il punto di minimo?Devo usare la matrice hessiana?e quelli di max?
Risposte
hai provato ad inserire quei valori all'interno della funzione?
Se ci fai caso sostituendo con $(1/3,1/3)$, trovi il valore più piccolo
Se ci fai caso sostituendo con $(1/3,1/3)$, trovi il valore più piccolo
Si è vero,e allora la matrice hessiana a cosa serve scusa??
Considerato il punto [tex](x_0,y_0)[/tex], la regola generale (escludendo il caso dubbio) è questa
se [tex]det Hf(x_0,y_0) >0[/tex] e [tex]f_{xx}(x_0, y_0) >0[/tex], allora [tex](x_0,y_0)[/tex] è un punto di minimo
se [tex]det Hf(x_0,y_0) >0[/tex] e [tex]f_{xx}(x_0, y_0) <0[/tex], allora [tex](x_0,y_0)[/tex] è un punto di massimo
se [tex]det Hf(x_0,y_0) <0[/tex], allora [tex](x_0,y_0)[/tex] è un punto di sella
nel tuo caso, avendo fatto i calcoli giusti, ti dovrebbe uscire che i punti [tex](0,1)[/tex] e [tex]\left(\displaystyle\frac{1}{3}, \displaystyle\frac{1}{3}\right)[/tex] sono entrambi punti di minimo. Quindi, per capire quale sia fra essi il punto di minimo assoluto, basta sostituire ciascun punto nella funzione originaria e vedere per quali di essi la funzione assume valore più piccolo!
Spero sia chiaro
se [tex]det Hf(x_0,y_0) >0[/tex] e [tex]f_{xx}(x_0, y_0) >0[/tex], allora [tex](x_0,y_0)[/tex] è un punto di minimo
se [tex]det Hf(x_0,y_0) >0[/tex] e [tex]f_{xx}(x_0, y_0) <0[/tex], allora [tex](x_0,y_0)[/tex] è un punto di massimo
se [tex]det Hf(x_0,y_0) <0[/tex], allora [tex](x_0,y_0)[/tex] è un punto di sella
nel tuo caso, avendo fatto i calcoli giusti, ti dovrebbe uscire che i punti [tex](0,1)[/tex] e [tex]\left(\displaystyle\frac{1}{3}, \displaystyle\frac{1}{3}\right)[/tex] sono entrambi punti di minimo. Quindi, per capire quale sia fra essi il punto di minimo assoluto, basta sostituire ciascun punto nella funzione originaria e vedere per quali di essi la funzione assume valore più piccolo!
Spero sia chiaro
grazie chiarissimo...quindi mi conviene sempre farla la matrice hessiana giusto?
e se la matrice hessiana mi viene solo con coefficienti senza quindi la possibilità di sostituire le variabili con i punti critici?
Ad esempio in questo esercizio in cui si deve determinare max e min di f(x,y)=$x^2-y^2$ nel dominio: $ |x| leq 1 ; |y| leq 1 $ calcolando le derivate prime rispetto ad x:2x e rispetto ad y=-2y mi viene come punto critico (0,0). Poi andando a fare le derivate seconde per la matrice hessiana mi vengono valori senza variabili...e come faccio a sostituire con il punto critico??
e se la matrice hessiana mi viene solo con coefficienti senza quindi la possibilità di sostituire le variabili con i punti critici?
Ad esempio in questo esercizio in cui si deve determinare max e min di f(x,y)=$x^2-y^2$ nel dominio: $ |x| leq 1 ; |y| leq 1 $ calcolando le derivate prime rispetto ad x:2x e rispetto ad y=-2y mi viene come punto critico (0,0). Poi andando a fare le derivate seconde per la matrice hessiana mi vengono valori senza variabili...e come faccio a sostituire con il punto critico??
In generale, se i punti non sono presenti nell'insieme di punti dove si annulla il gradiente, o dove la funzione non è parzialmente derivabile, si va poi a cercarli sulla frontiera (nel tuo caso il massimo)
scusami per frontiera in questa funzione cosa intendi?Io poi ho proseguito così:
praticamente sono andato a calcolare la funzione all'estremo del dominio quindi facendo f(1,0)=1 max, f(0,1)=1 max, f(0,0)=min è giusto come ragionamento?
praticamente sono andato a calcolare la funzione all'estremo del dominio quindi facendo f(1,0)=1 max, f(0,1)=1 max, f(0,0)=min è giusto come ragionamento?
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