Massimi e minimi funzione

[Raikton]

Salve volevo avere delle delucidazioni sul come trovare il secondo punto critico di questo esercizio: valori massimo e minimo globali della seguente funzione $cos(xy)$ nella regione $(x,y):r^2 : 4x^2 +y^2 -1<=0$ il primo punto lo trovo facendo le derivate parziali ed è $(0,0)$ quindi il valore 1,mentre il secondo valore che sarebbe $cos(1/4)$ non so come trovarlo visto che non riesco a fare i moltiplicatori di lagrange visto che mi viene il seguente sistema:
{$-ysin(xy)+lambda8x=0$
$-xsin(xy)+lambda4y=0$
$4x^2 +y^2=1$}
non riesco a levare le gambe da questo sistema e non riesco neanche a capire nel sistema iniziale quello delle derivate parziali oltre al punto(0,0),ci sono di sicuro tutti i punti $xy=npi$ ma non so come gestirlo.Grazie.Se volete il testo preciso dell'esercizio è l'es 2 di questo compito http://alan.dma.unipi.it/miei/scritti/s ... -22_AN.pdf

[stefansson]

Ciao!
Un'osservazione preliminare.
Stiamo cercando i punti critici di $f(x,y)=cos(xy)$ sull'ellisse $E={(x,y)inR^2|4x^2+y^2<=1}$
quindi senz'altro $xyin[-1/2,1/2] rArr |xy|in[0,1/2] rArr f(x,y)=cos(xy)in[cos(1/2),1]$
Se entrambi questi valori fossero assunti allora avremmo già risolto, purtoppo non è così, almeno in parte.
Infatti il valore 1 è assunto su tutti e due i segmenti ${x=0}nnE$ e ${y=0}nnE$ come conferma anche $\gradf$.
Inoltre gli unici punti interni in cui si annulla il gradiente sono proprio questi e sono tutti di massimo quindi il minimo è sul bordo.
Utilizzando i moltiplicatori di Lagrange ti trovi a risolvere il sistema
${(ysin(xy)=lambda8x),(xsin(xy)=lambda2y),(4x^2+y^2=1):}$
i punti $(1/2,0),(-1/2,0),(0,1),(0,-1)$ non soddisfano il sistema poichè dalle prime due equazioni avresti $x=y=0$ in contraddizione con la terza. Inoltre analogamente $lambda!=0$
E' quindi lecito (avendo escluso i punti sul bordo in cui si annullavano $x,y$ oppure $sin(xy)$ e avendo escluso $lambda=0$) dividere la prima per la seconda equazione e ottenere quindi $y^2=4x^2$.
E' facile verificare che sono tutti punti di minimo in corrispondenza dei quali $f(x,y)=cos(1/4)$.
Ciao!