Massimi e minimi (funz. 2 variabili)
Determinare gli estremi assoluti della funzione $ f(x,y)=e^-x(2x-y)^2 $ dul rettangolo (perimetro e punti interni) di vertici $ (0,0);(0,1);(3,0);(3,1) $
sviluppo il quadrato di binomio e ottengo $ f(x,y)=e^-x(4x^2-4xy+y^2) $ per la ricerca dei punti interni al rettangolo cerco i punti critici $ nabla f=0 $
$ { ( -e^-x(4x^2-4xy+y^2)+(8x-4y)e^-x=0 ),( (2y-4x)e^-x=0 ):} $ raccogliendo $ { ( e^-x(-4x^2+4xy-y^2+8x-4y)=0 ),( e^-x(2y-4x)=0 ):} $
dato che $ e^-x $ non si annulla mai per nessun valore di $ x $ nelle due equazioni cerco quando i due polinomi si annullano
il polinomio della seconda equazione si annulla quando $ y=2x $ , sostituisco la y nella prima equazione e vedo che la verifica
a questo punto ho trovato che i miei punti critici interni sono tutti i punti di coordinate $ (x,2x) $
ora senza fare le derivate seconde per il calcolo dell'Hessiano; dovrei intuire che sia $ H $ che fxx sono maggiori di 0 e quindi trattasi di minimi relativi...giusto ?
e se sostituisco nella funzione y con 2x trovo che la funzione vale 0
prima di andare avanti e chiarire i miei dubbi vorrei sapere se fino a qui è tutto giusto ?
sviluppo il quadrato di binomio e ottengo $ f(x,y)=e^-x(4x^2-4xy+y^2) $ per la ricerca dei punti interni al rettangolo cerco i punti critici $ nabla f=0 $
$ { ( -e^-x(4x^2-4xy+y^2)+(8x-4y)e^-x=0 ),( (2y-4x)e^-x=0 ):} $ raccogliendo $ { ( e^-x(-4x^2+4xy-y^2+8x-4y)=0 ),( e^-x(2y-4x)=0 ):} $
dato che $ e^-x $ non si annulla mai per nessun valore di $ x $ nelle due equazioni cerco quando i due polinomi si annullano
il polinomio della seconda equazione si annulla quando $ y=2x $ , sostituisco la y nella prima equazione e vedo che la verifica
a questo punto ho trovato che i miei punti critici interni sono tutti i punti di coordinate $ (x,2x) $
ora senza fare le derivate seconde per il calcolo dell'Hessiano; dovrei intuire che sia $ H $ che fxx sono maggiori di 0 e quindi trattasi di minimi relativi...giusto ?
e se sostituisco nella funzione y con 2x trovo che la funzione vale 0
prima di andare avanti e chiarire i miei dubbi vorrei sapere se fino a qui è tutto giusto ?
Risposte
I minimi assoluti interni si vedono senza fare conti di alcun tipo.
Infatti, essendo [tex]$e^{-x}>0$[/tex] ed [tex]$(2x-y)^2\geq 0$[/tex], si ha [tex]$f(x,y)\geq 0$[/tex]; conseguentemente i punti di minimo sono tutti e soli i punti del rettangolo per i quali risulta [tex]$f(x,y)=0$[/tex], ossia [tex]$y=2x$[/tex].
Quindi al massimo i conti bisogna farli per vedere se sono presenti altri punti critici interni.
Ma la derivata rispetto ad [tex]$y$[/tex] si annulla solo per [tex]$y=2x$[/tex], quindi non ci sono altri punti critici interni al rettangolo oltre ai suddetti minimi assoluti.
Ora passa ai lati ed ai vertici.
P.S.: La prossima volta evita i PM.
Se voglio rispondere ad un thread lo faccio di mia spontanea iniziativa; quando non lo faccio è perchè non ritengo l'argomento interessante (e visto che nessuno mi paga per rispondere, non ci perdo troppo tempo).
Infatti, essendo [tex]$e^{-x}>0$[/tex] ed [tex]$(2x-y)^2\geq 0$[/tex], si ha [tex]$f(x,y)\geq 0$[/tex]; conseguentemente i punti di minimo sono tutti e soli i punti del rettangolo per i quali risulta [tex]$f(x,y)=0$[/tex], ossia [tex]$y=2x$[/tex].
Quindi al massimo i conti bisogna farli per vedere se sono presenti altri punti critici interni.
Ma la derivata rispetto ad [tex]$y$[/tex] si annulla solo per [tex]$y=2x$[/tex], quindi non ci sono altri punti critici interni al rettangolo oltre ai suddetti minimi assoluti.
Ora passa ai lati ed ai vertici.
P.S.: La prossima volta evita i PM.
Se voglio rispondere ad un thread lo faccio di mia spontanea iniziativa; quando non lo faccio è perchè non ritengo l'argomento interessante (e visto che nessuno mi paga per rispondere, non ci perdo troppo tempo).
avevo quasi finito di scrivere quando per problemi del mio computer mi s'è cancellatto tutto...per evitare che riaccada...ti scriverò un post per lato...
LATO (0,0)-(0,1)
$ x=0, y=t $
$ f(t)=t^2 $
$ f'(t)=2t $
la derivata prima si annulla per t=0, (0,0) l'avrei preso cmq in considerazione perchè vertice del mio rettangolo
la funzione in quel punto vale 0. (0,0) è un punto di minimo assoluto
$ x=0, y=t $
$ f(t)=t^2 $
$ f'(t)=2t $
la derivata prima si annulla per t=0, (0,0) l'avrei preso cmq in considerazione perchè vertice del mio rettangolo
la funzione in quel punto vale 0. (0,0) è un punto di minimo assoluto
LATO (0,0)-(3,0)
$ x=t, y=0 $
$ f(t)=e^-t(2t)^2=4t^2e^-t $
$ f'(t)=8te^-t-e^-t4t^2=e^-t(8t-4t^2) $
la derivata prima si annulla per t=0. (0,0) punto già calcolato, e per t=2
$ f''(t)=-e^-t(8t-4t^2)+(8-8t)e^-t=e^-t(4t^2-16t+8)=e^-t(t^2-4+2) $
studio il segno della parabola perchè $ e^-t>0 $
le due radici sono $ 2-sqrt(2) $ e $ 2+sqrt(2) $ per valori compresi siccome la concavità è verso l'alto e quindi ils egno è negativo saranno punti di massimo relativo
quindi (2,0) è un opunto di massimo relativo
la funzione in questo punto vale $ 8/e $
$ x=t, y=0 $
$ f(t)=e^-t(2t)^2=4t^2e^-t $
$ f'(t)=8te^-t-e^-t4t^2=e^-t(8t-4t^2) $
la derivata prima si annulla per t=0. (0,0) punto già calcolato, e per t=2
$ f''(t)=-e^-t(8t-4t^2)+(8-8t)e^-t=e^-t(4t^2-16t+8)=e^-t(t^2-4+2) $
studio il segno della parabola perchè $ e^-t>0 $
le due radici sono $ 2-sqrt(2) $ e $ 2+sqrt(2) $ per valori compresi siccome la concavità è verso l'alto e quindi ils egno è negativo saranno punti di massimo relativo
quindi (2,0) è un opunto di massimo relativo
la funzione in questo punto vale $ 8/e $
LATO (3,0)-(3,1)
$ x=3, y=t $
$ f(t)=e^-3(6-t)^2=e^-3(t^2-12t+36) $
$ f'(t)=-3e^-3(t^2-12t+36)+(2t-12)e^-3=e^-3(-3t^2+38t-120) $
la derivata prima si annulla per t=6 o per t=20/3 entrambi da non considerare perchè al di fuori del mio insieme di restrizione
$ x=3, y=t $
$ f(t)=e^-3(6-t)^2=e^-3(t^2-12t+36) $
$ f'(t)=-3e^-3(t^2-12t+36)+(2t-12)e^-3=e^-3(-3t^2+38t-120) $
la derivata prima si annulla per t=6 o per t=20/3 entrambi da non considerare perchè al di fuori del mio insieme di restrizione
ora arriva il mio DUBBIO (dove sicuramente ho commesso qualche ERRORE)
LATO (0,1)-(3,1)
$ x=t, y=1 $
$ f(t)=e^-t(2t-1)^2=e^-t(4t^2-4t+1) $
$ f'(t)=-e^-t(4t^2-4t+1)+e^-t(8t-4)=e^-t(-4t^2+12t-5) $
la derivata prima si annulla per t=1/2 e per t=5/2
la funzione per (1/2,1) vale 0...e sarebbe un punto di minimo assoluto
per (5/2,1) vale $ (32/5)e $
ma se studio la derivata seconda
$ f''(t)=-e^-t(-4t^2+12t-5)+(-8t+12)e^-t=e^-t(4t^2-20t+17) $
$ e^-t>0 $ e le radici del polinomio sono $ t=(10+-2sqrt(42))/4 $ dato che la concavità è verso l'alto se il punto è compreso tra questi due valori dovrebbe essere un punto di massimo, altrimenti di minimo...ma 1/2 è compreso tra questi valori...come può venirmi che la funzione li vale 0 ??
LATO (0,1)-(3,1)
$ x=t, y=1 $
$ f(t)=e^-t(2t-1)^2=e^-t(4t^2-4t+1) $
$ f'(t)=-e^-t(4t^2-4t+1)+e^-t(8t-4)=e^-t(-4t^2+12t-5) $
la derivata prima si annulla per t=1/2 e per t=5/2
la funzione per (1/2,1) vale 0...e sarebbe un punto di minimo assoluto
per (5/2,1) vale $ (32/5)e $
ma se studio la derivata seconda
$ f''(t)=-e^-t(-4t^2+12t-5)+(-8t+12)e^-t=e^-t(4t^2-20t+17) $
$ e^-t>0 $ e le radici del polinomio sono $ t=(10+-2sqrt(42))/4 $ dato che la concavità è verso l'alto se il punto è compreso tra questi due valori dovrebbe essere un punto di massimo, altrimenti di minimo...ma 1/2 è compreso tra questi valori...come può venirmi che la funzione li vale 0 ??
nessuno ???
Sei sicuro di avere applicato correttamente la formula risolutiva per quell'equazione di 2° grado?
esatto...i valori vengono $ (10+-4sqrt(2))/4 $ espressi in numeri decimali 1,086 e 3,914....quindi 1/2 non è compreso, mentre 5/2 si...e allora tutto mi torna...
purtroppo come ho scritto la prima volta che stavo postando i calcoli mi s'è cancellato tutto...e riscrivendolo ho fatto delle correzioni al volo, che mi han portato a questop errore...grazie mille...per il resto...a parte che devo calcolare ancora alcuni vertici...è giusto...?...purtroppo gli es. che trovo svolti su internet sono più semplici e avendo grosse lacune di base ho bisogno di conferme del mio operato...
purtroppo come ho scritto la prima volta che stavo postando i calcoli mi s'è cancellato tutto...e riscrivendolo ho fatto delle correzioni al volo, che mi han portato a questop errore...grazie mille...per il resto...a parte che devo calcolare ancora alcuni vertici...è giusto...?...purtroppo gli es. che trovo svolti su internet sono più semplici e avendo grosse lacune di base ho bisogno di conferme del mio operato...
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