Massimi e minimi equazioni in 2 variabili
Ho dei problemi nel classificare i massimi e minimi di funzioni in più variabili...qui riporto un esercizio:
Ditemi se sbaglio
$f(x,y) = 9x^4 + 12yx^3 + 2y^6$
Parto calcolando il gradiente, per vedere dove si annulla:
$f_x = 36x^3 + 36yx^2 $
$f_y = 12x^3 + 12y^5$
che si annullano nei punti di valori $A = (0,0) B = (1,-1) C = (-1,1)$, giusto?
Ora calcolo la matrice Hessiana:
$f_x_y = 36x^2 = f_y_x$
$f_x_x = 108x^2 + 72yx$
$f_y_y = 60y^4$
Calcolate in $A$, $B$ e $C$ si ottiene rispettivamente le matrici:
$((0,0),(0,0)) ((36,36),(36,60)) ((36,36),(36,60))$
giusto?
Ecco, ora da qui si vede che, essendo matrici 2x2, dal determinante che nel punto $A$ la matrice è semidefinita, ovvero non possiamo trarre conclusioni sul punto, mentre ne punto $B$ e $C$ la matrice è definita.
Allora procediamo con il vedere se in tali punti è definita positiva o negativa (ne fdaccio solo una, perchè l'altra è identica).
Prendo un generico vettore $(h,k) != (0,0)$ e calcolo $(h,k)*((36,36),(36,60))*(h,k)^T$, ottenendo così
$(36h + 36k,36h + 60k)*((h),(k)) = 36h^2 + 36hk + 36hk + 60k^2 = 36h^2 + 72hk + 60k^2$
Da qui io direi che la matrice è indefinita, ma prima avevo detto che è definita...potreste aiutarmi? Grazie mille!!
Ditemi se sbaglio
$f(x,y) = 9x^4 + 12yx^3 + 2y^6$
Parto calcolando il gradiente, per vedere dove si annulla:
$f_x = 36x^3 + 36yx^2 $
$f_y = 12x^3 + 12y^5$
che si annullano nei punti di valori $A = (0,0) B = (1,-1) C = (-1,1)$, giusto?
Ora calcolo la matrice Hessiana:
$f_x_y = 36x^2 = f_y_x$
$f_x_x = 108x^2 + 72yx$
$f_y_y = 60y^4$
Calcolate in $A$, $B$ e $C$ si ottiene rispettivamente le matrici:
$((0,0),(0,0)) ((36,36),(36,60)) ((36,36),(36,60))$
giusto?
Ecco, ora da qui si vede che, essendo matrici 2x2, dal determinante che nel punto $A$ la matrice è semidefinita, ovvero non possiamo trarre conclusioni sul punto, mentre ne punto $B$ e $C$ la matrice è definita.
Allora procediamo con il vedere se in tali punti è definita positiva o negativa (ne fdaccio solo una, perchè l'altra è identica).
Prendo un generico vettore $(h,k) != (0,0)$ e calcolo $(h,k)*((36,36),(36,60))*(h,k)^T$, ottenendo così
$(36h + 36k,36h + 60k)*((h),(k)) = 36h^2 + 36hk + 36hk + 60k^2 = 36h^2 + 72hk + 60k^2$
Da qui io direi che la matrice è indefinita, ma prima avevo detto che è definita...potreste aiutarmi? Grazie mille!!
Risposte
Basta che imposti l'equazione degli autovalori e vedi che segno hanno...
Per l'origine invece devi fare lo studio locale "a mano".
Per l'origine invece devi fare lo studio locale "a mano".
Domattina provo a fare lo studio degli autovalori, poi ti faccio sapere.
Cosa sarebbe lo studio locale "a mano"?
Cosa sarebbe lo studio locale "a mano"?
Studiare il segno di $f(x,y)-f(0,0)$ in un intorno di $(0,0)$.
Penso di aver capito, comunque chgiedo conferma dei miei passaggi:
Per trovare gli autovalori, calcolo le radici del polinomio minimo, ovvero di $det((36 - \alpha,36),(36,60 - \alpha) = \alpha^2 - 96\alpha + 864$
Gli autovalori risultano perciò essere $\alpha_1 = -12*(4+sqrt(10))$ e $\alpha_2 = -12*(4-sqrt(10))$, che sono entrambi positivi. Da questo se ne deduce che nei punti $B$ e $C$ la funzione presenta dei massimi, giusto?
Per quanto riguarda il punto A, si ha che $f(x,y) - f(0,0) = f(x,y)$, quindi si gurda gli andamenti della funzione lungo alcune curve passanti per $(0,0)$.
Ottengo che lungo l'asse x $(y = 0)$ lòa funzione si approssima alla curva di equazione $z = 9*x^4$ mentre lungo l'asse y $(x = 0)$ si approssima alla curva $z = 2*y^6$ .
Quindi in $(0,0)$ la funzione presenta un minimo.
Sono corretti i miei passaggi e i miei ragionamenti?
Grazie!!
Per trovare gli autovalori, calcolo le radici del polinomio minimo, ovvero di $det((36 - \alpha,36),(36,60 - \alpha) = \alpha^2 - 96\alpha + 864$
Gli autovalori risultano perciò essere $\alpha_1 = -12*(4+sqrt(10))$ e $\alpha_2 = -12*(4-sqrt(10))$, che sono entrambi positivi. Da questo se ne deduce che nei punti $B$ e $C$ la funzione presenta dei massimi, giusto?
Per quanto riguarda il punto A, si ha che $f(x,y) - f(0,0) = f(x,y)$, quindi si gurda gli andamenti della funzione lungo alcune curve passanti per $(0,0)$.
Ottengo che lungo l'asse x $(y = 0)$ lòa funzione si approssima alla curva di equazione $z = 9*x^4$ mentre lungo l'asse y $(x = 0)$ si approssima alla curva $z = 2*y^6$ .
Quindi in $(0,0)$ la funzione presenta un minimo.
Sono corretti i miei passaggi e i miei ragionamenti?
Grazie!!
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