Massimi e minimi e teorema di Weierstrass

[nick_10]

Buongiorno a tutti! Studiando il teorema di Weierstrass mi sono imbattuto in degli esercizi che vogliono mostrare come le ipotesi del teorema servono davvero. In tutti e tre che propongo qui sotto è facile trovare controesempi in cui manchi il massimo ma non riesco a trovare funzioni in cui manchino entrambi...
"Sia $f:[0,+infty) \to RR$ continua. Possono mancare sia max,sia min?
Sia $f:(0,1] \to RR$ continua. Possono mancare sia max, sia min?
Sia $f:[0,1] \to RR$ continua tranne in $x=1/2$. Possono mancare sia max,sia in?

[@melia]

Nell'ultima questa dovrebbe funzionare
$f(x)={(x,if 0<=x<1/2),(0,if x=1/2),(x-1,if 1/2
Nelle altre due non mi pare che sia possibile farli cadere entrambi, o mancherà il massimo o il minimo.

[otta96]

Un controesempio alla prima è $senxarctanx$, un controesempio alla seconda è $(1-x)sin(1/x)$.

[nick_10]

Grazie per le risposte!
Perchè per la prima potrebbe andare bene sinx*arctanx? Dovrebbe avere un punto di minimo...

[otta96]

Quale?

[nick_10]

Il punto x=0. Sbaglio?

[otta96]

In 0 la funzione vale 0, mentre in $3/2pi$ vale $-arctan(3/2pi)$ (che non so quanto sia), senz'altro un valore negativo.
Per di più il segno della funzione può essere studiato facilmente e risulta coincidente con quello dei $sen$

[nick_10]

Grazie mille a entrambi!