Massimi e minimi e punti estremi della funzione
Buon giorno
Premettendo che credo(se sbaglio correggetemi) che possano esistere funzioni con dominio limitato in un intervallo (cioè i 2 estremi del dominio sono numeri finiti);
Se in un punto estremo del dominio limitato la funzione assume valore massimo, vuol dire che quello è un punto di massimo assoluto? Perché io il massimo assoluto me lo immagino sempre come il punto in cui la retta tangente è nulla, ma nell estremo questo non succede
Poi se una funzione è illimitata inferiormente (assumo valori y meno infinito) possono esistere minimi assoluti o solo relativi?
Ringrazio di cuore chiunque mi risolva i dubbi
Premettendo che credo(se sbaglio correggetemi) che possano esistere funzioni con dominio limitato in un intervallo (cioè i 2 estremi del dominio sono numeri finiti);
Se in un punto estremo del dominio limitato la funzione assume valore massimo, vuol dire che quello è un punto di massimo assoluto? Perché io il massimo assoluto me lo immagino sempre come il punto in cui la retta tangente è nulla, ma nell estremo questo non succede
Poi se una funzione è illimitata inferiormente (assumo valori y meno infinito) possono esistere minimi assoluti o solo relativi?
Ringrazio di cuore chiunque mi risolva i dubbi
Risposte
Ciao!
Sì, le funzioni le definisci come vuoi (fino a che sono effettivamente funzioni). Prendi, ad esempio, una qualunque funzione elementare che "ha senso" in $[0,1]$ e la definisci con dominio $[0,1]$.
Non ha molto senso questa domanda, o meglio, mostra che non ti sono chiare le definizioni di massimo relativo e assoluto. Che vuol dire assume massimo? I massimi sono relativi o assoluti, dipende se rispettano quelle definizioni. Ad esempio, la funzione $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ definita ponendo $f(x)=x$ assume massimo assoluto nel punto $x_0=1$. Invece, la funzione $g:[-1,2]\to\mathbb{R}$ definita ponendo $g(x)=-x+x^2+x^3$ assume massimo relativo in $x_0=-1$ e massimo assoluto in $x_0=2$. La domanda che devi porti è: perché uno è assoluto e l'altro relativo nonostante siano entrambi sull'estremo dell'intervallo? Quali sono le definizioni di massimo relativo e di massimo assoluto?
Attento, questa frase non ha senso. Non ha senso dire: "La retta tangente è nulla", la frase corretta è: "Il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto è nullo". Comunque, assumendo che tu ti stia riferendo ad una tangente geometrica e che ti stia riferendo al contesto del calcolo differenziale, questo non avviene perché le derivate si fanno nei punti interni dell'insieme di definizione della funzione.
Anche qui, non ti sono molto chiare le definizioni. Come fa ad esistere il minimo assoluto se è illimitata inferiormente? Prova a riportare la definizione di minimo assoluto, quella di funzione illimitata inferiormente e ragiona sul perché non possono coesistere.
"carlo96":
Premettendo che credo(se sbaglio correggetemi) che possano esistere funzioni con dominio limitato in un intervallo (cioè i 2 estremi del dominio sono numeri finiti)
Sì, le funzioni le definisci come vuoi (fino a che sono effettivamente funzioni). Prendi, ad esempio, una qualunque funzione elementare che "ha senso" in $[0,1]$ e la definisci con dominio $[0,1]$.
"carlo96":
Se in un punto estremo del dominio limitato la funzione assume valore massimo, vuol dire che quello è un punto di massimo assoluto?
Non ha molto senso questa domanda, o meglio, mostra che non ti sono chiare le definizioni di massimo relativo e assoluto. Che vuol dire assume massimo? I massimi sono relativi o assoluti, dipende se rispettano quelle definizioni. Ad esempio, la funzione $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ definita ponendo $f(x)=x$ assume massimo assoluto nel punto $x_0=1$. Invece, la funzione $g:[-1,2]\to\mathbb{R}$ definita ponendo $g(x)=-x+x^2+x^3$ assume massimo relativo in $x_0=-1$ e massimo assoluto in $x_0=2$. La domanda che devi porti è: perché uno è assoluto e l'altro relativo nonostante siano entrambi sull'estremo dell'intervallo? Quali sono le definizioni di massimo relativo e di massimo assoluto?
"carlo96":
Perché io il massimo assoluto me lo immagino sempre come il punto in cui la retta tangente è nulla, ma nell estremo questo non succede
Attento, questa frase non ha senso. Non ha senso dire: "La retta tangente è nulla", la frase corretta è: "Il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto è nullo". Comunque, assumendo che tu ti stia riferendo ad una tangente geometrica e che ti stia riferendo al contesto del calcolo differenziale, questo non avviene perché le derivate si fanno nei punti interni dell'insieme di definizione della funzione.
"carlo96":
Poi se una funzione è illimitata inferiormente (assumo valori y meno infinito) possono esistere minimi assoluti o solo relativi?
Anche qui, non ti sono molto chiare le definizioni. Come fa ad esistere il minimo assoluto se è illimitata inferiormente? Prova a riportare la definizione di minimo assoluto, quella di funzione illimitata inferiormente e ragiona sul perché non possono coesistere.
Grazie mille della risposta
Anche secondo me una funzione illimitata inferiormente (assume valori y meno infinito) non può avere minimo assoluto. Però proprio per lo stesso motivo, non mi spiego perché dici che la funzione x^3+x^2-x definita in [-1,2] assuma massimo assoluto in x=2 visto che in quel punto la funzione ha un asintoto verticale, in altre parole è illimitata superiormente e quindi non dovrebbe avere massimo assoluto
In generale sui massimi(e minimi) credo che :
Un punto è di massimo assoluto se la funzione in quel punto assume il valore più alto in tutto il dominio (valore finito)
Massimo locale se assume valore più alto solo nell intorno del punto
Poi conosco il teorema di fermat che da la condizione necessaria per un minimo(massimo) locale interno al dominio, perché giustamente come dici, nei punti estremi del dominio non è definita la derivata
Anche secondo me una funzione illimitata inferiormente (assume valori y meno infinito) non può avere minimo assoluto. Però proprio per lo stesso motivo, non mi spiego perché dici che la funzione x^3+x^2-x definita in [-1,2] assuma massimo assoluto in x=2 visto che in quel punto la funzione ha un asintoto verticale, in altre parole è illimitata superiormente e quindi non dovrebbe avere massimo assoluto
In generale sui massimi(e minimi) credo che :
Un punto è di massimo assoluto se la funzione in quel punto assume il valore più alto in tutto il dominio (valore finito)
Massimo locale se assume valore più alto solo nell intorno del punto
Poi conosco il teorema di fermat che da la condizione necessaria per un minimo(massimo) locale interno al dominio, perché giustamente come dici, nei punti estremi del dominio non è definita la derivata
Prego!
Quella funzione ha asintoto verticale in $x=2$? No, è limitata. Perché dici ciò?
Per le definizioni va bene, ma ti consiglio in generale di scrivere sempre il più possibile con i quantificatori in ordine.
Quella funzione ha asintoto verticale in $x=2$? No, è limitata. Perché dici ciò?
Per le definizioni va bene, ma ti consiglio in generale di scrivere sempre il più possibile con i quantificatori in ordine.
Ho scritto la funzione su Google e dal grafico mi sembrava che avesse un asinitoto verticale in x=2,perché la funzione cresce senza mai superare x=2, però adesso rivedendo bene il grafico ho capito di aver sbagliato
Grazie mille per la disponibilità
Grazie mille per la disponibilità
Prego! In generale, fidati della teoria e non dei calcolatori online. La funzione $g(x)=-x+x^2+x^3$ è continua sul compatto $[-1,2]$ e perciò, per il teorema di Weierstrass, esistono massimo e minimo assoluti di $g$ in $[-1,2]$. Ciò implica che $g$ è limitata.
Scusami ancora, mi sono sorti altri 2 dubbi
È vero che una funzione che sia limitata superiormente potrebbe lo stesso non avere un massimo assoluto?
Se poi prendo una funzione definita in un insieme limitato, ma non chiuso
Per esempio la funzione identità definita in (-1,1), questa assume valori massimi e minimi? Secondo me potrebbe in 0,9 e - 0.9 rispettivamente, ma non ne sono sicuro anche per via del teorema di weistrass
È vero che una funzione che sia limitata superiormente potrebbe lo stesso non avere un massimo assoluto?
Se poi prendo una funzione definita in un insieme limitato, ma non chiuso
Per esempio la funzione identità definita in (-1,1), questa assume valori massimi e minimi? Secondo me potrebbe in 0,9 e - 0.9 rispettivamente, ma non ne sono sicuro anche per via del teorema di weistrass
"carlo96":
È vero che una funzione che sia limitata superiormente potrebbe lo stesso non avere un massimo assoluto?
Sì. Perché?
"carlo96":
Se poi prendo una funzione definita in un insieme limitato, ma non chiuso
Per esempio la funzione identità definita in (-1,1), questa assume valori massimi e minimi? Secondo me potrebbe in 0,9 e - 0.9 rispettivamente, ma non ne sono sicuro anche per via del teorema di weistrass
Quali sono le ipotesi del teorema di Weierstrass? La funzione identità in $(-1,1)$ le rispetta? Inoltre, ci sono numeri più grandi di $0.9$ e più piccoli $-0.9$ in $(-1,1)$ che vengono assunti dalla funzione identità. Ad esempio, $0.91$ e $-0.91$. Perché allora pensi che $0.9$ e $-0.9$ possano essere massimo e minimo di tale funzione in $(-1,1)$?
Si hai ragione, il senso era quello, potrebbe essere 0,99 il massimo allora è - 0,99 il minimo?
E -0,991?
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