Massimi e minimi due variabili
Buon pomeriggio a tutti,stavo svolgendo questo esercizio $ f(x,y)=x^2y^2-1-6xy $ ,con le derivate parziali mi trovo $ f_x=2xy^2-6x $ e $ f_y=2x^2y-6y $.
Ma andando a risolvere il sistema $ { ( 2xy^2-6y=0 ),( 2yx^2-6x=0 ):} $ mi sono trovato come risultato $ x=3/y $ e non riesco a risolverlo.Help!!
Ma andando a risolvere il sistema $ { ( 2xy^2-6y=0 ),( 2yx^2-6x=0 ):} $ mi sono trovato come risultato $ x=3/y $ e non riesco a risolverlo.Help!!
Risposte
First of all, it is clear that (0,0) is a solution for your system (and is the only one with some coordinate equal to zero). Now, you can suppose that $x$ and $y$ are not zero. In this situation, if your points $(x,y)$ have to satisfy the first equation, then they must satisfy the relation $x=\frac{3}{y}$ you obtained. A solution of your system is a point $(x,y)\in\mathbb{R^2}\backslash\{(0,0)}$ satisfying, at least, that $x=\frac{3}{y}$. But they have to satisfy also the equation $2yx^2-6x=0$. Now, you can use that $x=\frac{3}{y}$ to find what of these points satisfy the equation $2yx^2-6x=0$ by substitution.
The point is that a solution of that system has to satisfy the two equations at the same time.
The point is that a solution of that system has to satisfy the two equations at the same time.
if i insert $ x=3/y $ in $ 2yx^2-6x=0 $ i just found 0=0 ....
Sorry but it's not clear for me. If you substitute $x=3/y$ in $2xy^2-6y=0$ you obtain an identity $0=0$, Same for the other equation. Maybe I misunderstood your words.
Secondo me, semplicemente, il gradiente si annulla in $(0,0)$ e in tutti i punti $(x,y)$ che soddisfano l'equazione dell'iperbole $x=3/y$
Secondo me, semplicemente, il gradiente si annulla in $(0,0)$ e in tutti i punti $(x,y)$ che soddisfano l'equazione dell'iperbole $x=3/y$
Ragazzi wolfram mi da come risultati (-1,-3) (-3,-1) (1,3) (3,1)
Solo!!! Se provi con, per esempio $(2,3/2)$, trovi che il punto soddisfa l'annullamento del gradiente, cioè soddisfa il sistema in questione. 
Come è possibile che wolfram dice che il min relativo è proprio in (-1,-3) ??
Ahhh..., ma la cosa è "diversa". Non è detto che i punti in cui si annulla il gradiente siano di massimo o di minimo. Di certo in $(-1,-3)$ il gradiente si annulla. Così come in tutti i punti dell'iperbole $x=3/y$ (a quanto pare). Stabilire quali siano punti di massimo e di minimo relativi è un altro paio di maniche
e come faccio ? io ho sempre verificato i punti in cui si annulla il gradiente
"christian95":
if i insert $ x=3/y $ in $ 2yx^2-6x=0 $ i just found 0=0 ....
This means that all the points $(x,y)$ with $y\ne 0$ and $x=\frac{3}{y}$ do satisfy the two equations, so all of them are solutions. But this only means that these points are critical points. In order to find if they are minimum or maximum values, you should compute the second order derivatives.
yhea but why the points of min and max are (-1,-3) ??
Probably because of the hessian criterion. I didn't check it, but do it yourself.
Secondo me quei punti riportati da wolfram non sono gli unici di minimo relativo, lo sono tutti i punti della curva $y=3/x$ (così è in forma più familiare.
Dalla'hessiana si ricava facilmente che $(0,0)$ è un punto di sella. Per i punti $(x,3/x)$ essa diventa:
\[H(x,3/x)= \begin{bmatrix} 27/x^2 && 6 \\ 6 && 2x^2 \end{bmatrix} \]
Poiché è di ordine 2 e $DetH(x,3/x) = 18>0$, e $DetH_(11)=27/x^2>0 \forall x \ne 0$, se non erro tutti quei punti sono di minimo relativo.
Dalla'hessiana si ricava facilmente che $(0,0)$ è un punto di sella. Per i punti $(x,3/x)$ essa diventa:
\[H(x,3/x)= \begin{bmatrix} 27/x^2 && 6 \\ 6 && 2x^2 \end{bmatrix} \]
Poiché è di ordine 2 e $DetH(x,3/x) = 18>0$, e $DetH_(11)=27/x^2>0 \forall x \ne 0$, se non erro tutti quei punti sono di minimo relativo.
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