Massimi e minimi di una serie
apro un altro topic per non inquinare questo.
come si studiano massimi e minimi di una cosa come questa?
\(\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^2}\)
funzione periodica di periodo \(2\pi\) che ha gli stessi zeri del seno.
sapendo che nel raggio di convergenza la derivata della serie è la serie delle derivate, mi resta
\(\displaystyle f'(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}n=0\)
che non so risolvere. anzi, non è nemmeno convergente per ogni \(x\in\mathbb R\), ma solo per \(x\in\mathbb R\setminus2k\pi\) con \(k\in\mathbb Z\).
da semplici test al computer, sembra che ci sia un massimo poco dopo \(1\) e un minimo poco dopo \(5\).
come posso trovare che valori sono?
sembra inoltre che i valori di massimi e minimi siano rispettivamente maggiori e minori di 1, cosa che non mi aspettavo. anche le immagini dei massimi e minimi quindi mi restano problematiche...
come si studiano massimi e minimi di una cosa come questa?
\(\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^2}\)
funzione periodica di periodo \(2\pi\) che ha gli stessi zeri del seno.
sapendo che nel raggio di convergenza la derivata della serie è la serie delle derivate, mi resta
\(\displaystyle f'(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}n=0\)
che non so risolvere. anzi, non è nemmeno convergente per ogni \(x\in\mathbb R\), ma solo per \(x\in\mathbb R\setminus2k\pi\) con \(k\in\mathbb Z\).
da semplici test al computer, sembra che ci sia un massimo poco dopo \(1\) e un minimo poco dopo \(5\).
come posso trovare che valori sono?
sembra inoltre che i valori di massimi e minimi siano rispettivamente maggiori e minori di 1, cosa che non mi aspettavo. anche le immagini dei massimi e minimi quindi mi restano problematiche...
Risposte
La serie che si ottiene derivando termine a termine la serie di partenza non è (a priori) la serie derivata. Lo sarebbe se convergesse uniformemente sull'intervallo in cui i termini della serie di partenza sono funzioni derivabili (con l'ipotesi ulteriore che la tua serie $f$ converga in un punto $x_0$ di questo intervallo), ciò che non succede stando a quanto osservato (ti invito a controllare) qui.
Quindi non hai alcun teorema che ti garantisce che quella che tu hai chiamato $f'$ sia proprio la derivata della somma $f(x)$.
Quindi non hai alcun teorema che ti garantisce che quella che tu hai chiamato $f'$ sia proprio la derivata della somma $f(x)$.
Per curiosità... Questo esercizio ti è stato dato, oppure...?
mah, "a occhio" dal grafico di quella che ho chiamato \(f'\) (d'ora in poi ribattezzata in una più neutrale \(g\)) sembra proprio la derivata di \(f\).
in questa immagine sono raffigurate entrambe, \(f\) in azzurro e \(g\) in fucsia.
per la verità non ho ben capito come quello che hai linkato potrebbe essere d'aiuto...
l'esercizio è soltanto una mia curiosità relativamente a quanto postato qui.
in questa immagine sono raffigurate entrambe, \(f\) in azzurro e \(g\) in fucsia.
per la verità non ho ben capito come quello che hai linkato potrebbe essere d'aiuto...
l'esercizio è soltanto una mia curiosità relativamente a quanto postato qui.
"albertobosia":
mi resta
\(\displaystyle g(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}n=0\)
che non so risolvere. anzi, non è nemmeno convergente per ogni \(x\in\mathbb R\), ma solo per \(x\in\mathbb R\setminus2k\pi\) con \(k\in\mathbb Z\).
Come può essere quello il grafico della $g$ se hai detto tu stesso che converge solo in certi punti equidistanziati?
"Seneca":
[quote="albertobosia"] mi resta
\(\displaystyle g(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}n=0\)
che non so risolvere. anzi, non è nemmeno convergente per ogni \(x\in\mathbb R\), ma solo per \(x\in\mathbb R\setminus2k\pi\) con \(k\in\mathbb Z\).
Come può essere quello il grafico della $g$ se hai detto tu stesso che converge solo in certi punti equidistanziati?[/quote]
intendevo che converge solo nei valori di \(x\) non multipli di \(2\pi\).
ho scritto male?
Ah, no. Scusami. Ho letto io male (l'ora tarda).
Se quella è la derivata (e bisogna provarlo) direi che i punti $x_k = pi/2 + k pi$ sono tutti punti estremanti per la $f$... Infatti la ridotta $n$-esima della derivata di $f$ è identicamente nulla...
allora hai ragione, quella non può essere la derivata: non si annulla in punti equidistanti.
se la derivata non è quella, potrei provare a sfruttare lo sviluppo di taylor di \(\sin(x)\) e scambiare le due serie?
se la derivata non è quella, potrei provare a sfruttare lo sviluppo di taylor di \(\sin(x)\) e scambiare le due serie?
Guarda... Quella in viola sembra proprio essere la derivata.
Ora che ci penso... $cos( n(pi/2 + k pi) ) = cos( n pi/2 + n k pi ) = - cos( n pi/2 )$ che non è identicamente nulla $AA n in NN$.
Quindi sei sulla buona strada.
Ora che ci penso... $cos( n(pi/2 + k pi) ) = cos( n pi/2 + n k pi ) = - cos( n pi/2 )$ che non è identicamente nulla $AA n in NN$.
Quindi sei sulla buona strada.
(*) \(g=0\) in \(\displaystyle x=\frac\pi3+2k\pi\)
per la disparità di \(f\) \(\displaystyle x=5\frac\pi3+2k\pi\).
(*) \(\displaystyle f\left(\frac\pi3\right)=\frac12i\left(\text{Li}_2\left(e^{\left(\Large{-\frac{i\pi}3}\right)}\right)-\text{Li}_2\left(e^{\left(\Large{\frac{i\pi}3}\right)}\right)\right)\approxeq1.01494\)
dove \(\displaystyle\text{Li}_2(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k^2}\)
(*) grazie a mathematica, mi sento impotente ma per una volta ci si può accontentare.
per la disparità di \(f\) \(\displaystyle x=5\frac\pi3+2k\pi\).
(*) \(\displaystyle f\left(\frac\pi3\right)=\frac12i\left(\text{Li}_2\left(e^{\left(\Large{-\frac{i\pi}3}\right)}\right)-\text{Li}_2\left(e^{\left(\Large{\frac{i\pi}3}\right)}\right)\right)\approxeq1.01494\)
dove \(\displaystyle\text{Li}_2(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k^2}\)
(*) grazie a mathematica, mi sento impotente ma per una volta ci si può accontentare.
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