Massimi e minimi di una funzione vincolata in 3 variabili
Ciao a tutti, non riesco a capire come svolgere il seguente esercizio. Ho l'insieme $A$ così definito
$$
A = \{x^2 + y^2 -z^2 \leq 1, 0 \leq z \leq 1 \}
$$
e devo trovare massimi e minimi della funzione $\Phi = x^2 + y^2 - z^2$ su $A$.
L'insieme A è un iperboloide ad una falda chiuso tra $z=0$ e $z=1$. Intanto non ho capito come fare a studiare la parte interna. Per quanto riguarda la superficie dovrei usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, quindi, chiamando $f = x^2 + y^2 - z^2 - 1$ la funzione vincolo, ho:
$$
\nabla(\Phi - \lambda f) = 0
$$
da cui
$$
\left\{\begin{matrix}
2x - 2 \lambda x = 0
\\ 2y - 2 \lambda y = 0
\\ - 2z + 2 \lambda z = 0
\\ x^2 + y^2 - z^2 = 1
\\ 0 < z < 1
\end{matrix}\right.
$$
Nel sistema ho scritto le 3 componenti del gradiente ed i 2 vincoli che mi individuano la superficie che sto studiando. I bordi (cioè i luoghi in cui $z=0$ e $z=1$) li studio poi a parte.
Il problema è che non riesco a risolvere questo sistema: il gradiente mi si annulla se $\lambda = 1$ (ma cosa ne concludo? $x, y, z$ rimangono indeterminati con quei vincoli) o se tutte e 3 le coordinate sono nulle. Il problema è che l'origine non appartiene alla mia superficie, né al suo bordo inferiore.
Come agire in un caso come questo?
Grazie in anticipo
$$
A = \{x^2 + y^2 -z^2 \leq 1, 0 \leq z \leq 1 \}
$$
e devo trovare massimi e minimi della funzione $\Phi = x^2 + y^2 - z^2$ su $A$.
L'insieme A è un iperboloide ad una falda chiuso tra $z=0$ e $z=1$. Intanto non ho capito come fare a studiare la parte interna. Per quanto riguarda la superficie dovrei usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, quindi, chiamando $f = x^2 + y^2 - z^2 - 1$ la funzione vincolo, ho:
$$
\nabla(\Phi - \lambda f) = 0
$$
da cui
$$
\left\{\begin{matrix}
2x - 2 \lambda x = 0
\\ 2y - 2 \lambda y = 0
\\ - 2z + 2 \lambda z = 0
\\ x^2 + y^2 - z^2 = 1
\\ 0 < z < 1
\end{matrix}\right.
$$
Nel sistema ho scritto le 3 componenti del gradiente ed i 2 vincoli che mi individuano la superficie che sto studiando. I bordi (cioè i luoghi in cui $z=0$ e $z=1$) li studio poi a parte.
Il problema è che non riesco a risolvere questo sistema: il gradiente mi si annulla se $\lambda = 1$ (ma cosa ne concludo? $x, y, z$ rimangono indeterminati con quei vincoli) o se tutte e 3 le coordinate sono nulle. Il problema è che l'origine non appartiene alla mia superficie, né al suo bordo inferiore.
Come agire in un caso come questo?
Grazie in anticipo
Risposte
provo a darti una risposta usando solo il buon senso (non ho mai fatto esercizi così con funzioni in 3 variabili, mi piacciono quelle con due), spero che intervengano gli espertiori perchè mi piacerebbe sapere se la mia intuizione è corretta
A noi
a me piace visualizzare le funzioni, quelle in due variabili sono come carte topografiche dove le vette sono i massimi e le gole i minimi, qui però mi devo immaginare una superficie colorata, più rosso dove ci sono i valori più alti che vira verso il blu dove i valori sono più bassi
ora noi abbiamo bisogno di capire dove $Phi$, la nostra funzione assume i valori massimi e dove i minimi trattandosi della somma di due quadrati $x^2+y^2$ questa aumenterà all'aumentare dei valori assoluti di $x$ e $y$ poi però abbiamo $-z^2$ e per fare in modo di togliere il meno possibile possiamo solo assegnare a $z$ il valore $0$, ci troviamo dunque sul piano $xy$ lo intersechiamo col nostro dominio $x^2+y^2-z^2<= 1$ e troviamo $x^2+y^2<=1$ che è un cerchio centrato nell'origine di raggio 1, i valori massimi li avremo lungo la circonferenza $x^2+y^2=1$, per trovare il valore minimo al contrario dovremo minimizzare la somma dei quadrati $x^+y^2$ e lo possiamo fare annullando contemporaneamente $x$ e $y$, ci troviamo dunque sull'asse z, a questo punto ci rimane soltanto $Phi=-z^2$, di conseguenza dobbiamo assegnare a z il massimo valore assoluto possibile dell'insieme $A$ cioè $z=1$
riassumendo
minimo $P(0;0;1)$ $Phi= -1$
massimi circonferenza $x^2+y^2=1$ $Phi=1$
A noi
a me piace visualizzare le funzioni, quelle in due variabili sono come carte topografiche dove le vette sono i massimi e le gole i minimi, qui però mi devo immaginare una superficie colorata, più rosso dove ci sono i valori più alti che vira verso il blu dove i valori sono più bassi
ora noi abbiamo bisogno di capire dove $Phi$, la nostra funzione assume i valori massimi e dove i minimi trattandosi della somma di due quadrati $x^2+y^2$ questa aumenterà all'aumentare dei valori assoluti di $x$ e $y$ poi però abbiamo $-z^2$ e per fare in modo di togliere il meno possibile possiamo solo assegnare a $z$ il valore $0$, ci troviamo dunque sul piano $xy$ lo intersechiamo col nostro dominio $x^2+y^2-z^2<= 1$ e troviamo $x^2+y^2<=1$ che è un cerchio centrato nell'origine di raggio 1, i valori massimi li avremo lungo la circonferenza $x^2+y^2=1$, per trovare il valore minimo al contrario dovremo minimizzare la somma dei quadrati $x^+y^2$ e lo possiamo fare annullando contemporaneamente $x$ e $y$, ci troviamo dunque sull'asse z, a questo punto ci rimane soltanto $Phi=-z^2$, di conseguenza dobbiamo assegnare a z il massimo valore assoluto possibile dell'insieme $A$ cioè $z=1$
riassumendo
minimo $P(0;0;1)$ $Phi= -1$
massimi circonferenza $x^2+y^2=1$ $Phi=1$
Il ragionamento di gio73 è corretto.
Di fatto, hai che
\[
A = \{f(x,y,z) \leq 1;\ 0 \leq z \leq 1\}
\]
quindi chiaramente il massimo di \(f\) in \(A\) è \(1\), proprio per la definizione di \(A\).
Come osservato da gio73, il massimo di \(f\) in \(A\) si ottiene su tutta la superficie dell'iperboloide (dove \(x^2+y^2-z^2 = 1\)).
D'altra parte, per ottenere il minimo, è chiaro che conviene avere \(x=y=0\) e \(z = 1\); per confronto è infatti evidente che ogni altro punto di \(A\) incrementa strettamente il valore di \(f\).
Di fatto, hai che
\[
A = \{f(x,y,z) \leq 1;\ 0 \leq z \leq 1\}
\]
quindi chiaramente il massimo di \(f\) in \(A\) è \(1\), proprio per la definizione di \(A\).
Come osservato da gio73, il massimo di \(f\) in \(A\) si ottiene su tutta la superficie dell'iperboloide (dove \(x^2+y^2-z^2 = 1\)).
D'altra parte, per ottenere il minimo, è chiaro che conviene avere \(x=y=0\) e \(z = 1\); per confronto è infatti evidente che ogni altro punto di \(A\) incrementa strettamente il valore di \(f\).
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