Massimi e minimi di una funzione vincolata
Ho questa funzione \(\displaystyle f(x,y)=-x^2-y+siny \) vincolata a \(\displaystyle 2x^2+y^2=32 \). I punti critici mi tornano A \(\displaystyle (- 4 \sqrt{2},0) \) e B \(\displaystyle ( 4 \sqrt{2},0) \). Adesso devo capire se sono punti di max o di minimo. L'hessiano di mi torna 0 in entrambi i casi. Vado a vedere \(\displaystyle f(A)=-32 \) e \(\displaystyle f(B)=-32 \)... quindi le mie domande sono:
- dato che l'hessiano è 0 come capisco in questo caso se ho davanti dei massimi o dei minimi?
- il fatto che \(\displaystyle f(A)=f(B) \) implica qualcosa in termini di max e min?
Grazie mille a chiunque proverà ad aiutarmi...
- dato che l'hessiano è 0 come capisco in questo caso se ho davanti dei massimi o dei minimi?
- il fatto che \(\displaystyle f(A)=f(B) \) implica qualcosa in termini di max e min?
Grazie mille a chiunque proverà ad aiutarmi...
Risposte
A e B non sono neanche sul vincolo...
-quindi i punti che ho trovato non sono critici?
-allora se la funzione a cui è vincolata fosse \(\displaystyle x^2+y^2=32 \) a questo punto A e B sarebbero punti critici (e si trovano sul vincolo) ma come capisco se sono max o min?
-allora se la funzione a cui è vincolata fosse \(\displaystyle x^2+y^2=32 \) a questo punto A e B sarebbero punti critici (e si trovano sul vincolo) ma come capisco se sono max o min?
Devi restringere la funzione $f$ alla curva definita dal vincolo ottenendo una funzione $\overline{f}$ di una sola variabile: se il punto in questione è un minimo/massimo/flesso per $\overline{f}$, allora lo è anche per $f$.
EDIT. Non avevo notato la prima domanda. Ovvio che sono punti critici (pensa alla definizione di punto critico). Però non ti servono, perchè sono esterni al vincolo.
EDIT. Non avevo notato la prima domanda. Ovvio che sono punti critici (pensa alla definizione di punto critico). Però non ti servono, perchè sono esterni al vincolo.
Ciao,e ben arrivato/a in questo forum!
Ammesso,a proposito del tuo quesito,che il testo sia quello della prima riga,
puoi postare i conti che ti son saltati fuori col metodo dei moltiplicatori di Lagrange?
Te lo chiedo perchè a me vengon ulteriori punti,oltre quelli che hai individuato correttamente
(scambiando però,forse dato l'orario
,ascissa ed ordinata!!):
magari t'aiutano a capire come effettuare quella scelta su min e max della tua funzione obiettivo sotto quel vincolo..
Saluti dal web.
P.S.@Plepp:
quel vincolo non è esplicitabile,Giuseppe,ed inoltre,
se provi a farlo lavorando separatamente col tuo metodo sulle due semi-ellissi in cui puoi spezzarlo,
mi sembra ad occhio che vengan fuori conti macchinosi..
Ammesso,a proposito del tuo quesito,che il testo sia quello della prima riga,
puoi postare i conti che ti son saltati fuori col metodo dei moltiplicatori di Lagrange?
Te lo chiedo perchè a me vengon ulteriori punti,oltre quelli che hai individuato correttamente
(scambiando però,forse dato l'orario
,ascissa ed ordinata!!):magari t'aiutano a capire come effettuare quella scelta su min e max della tua funzione obiettivo sotto quel vincolo..
Saluti dal web.
P.S.@Plepp:
quel vincolo non è esplicitabile,Giuseppe,ed inoltre,
se provi a farlo lavorando separatamente col tuo metodo sulle due semi-ellissi in cui puoi spezzarlo,
mi sembra ad occhio che vengan fuori conti macchinosi..
Salve Theras! 
Che intendi per "non è esplicitabile"?
Ad ogni modo, hai ragione: quel seno rompe un po' le scatole, quindi non è la strada più veloce fare come dico io.
Che intendi per "non è esplicitabile"?
Ad ogni modo, hai ragione: quel seno rompe un po' le scatole, quindi non è la strada più veloce fare come dico io.
i calcoli non li ho svolti con i moltiplicatori di Lagrange ma con un'altro metodo che ci ha spiegato il professore:
\(\displaystyle f(x,y)=-x^2-y+sin y \)
\(\displaystyle g(x,y)=x^2+y^2=32 \) ---> \(\displaystyle x^2=32-y^2 \)
\(\displaystyle h(y)=-32+y^2-y+siny \)
\(\displaystyle h'(y)=2y-1+cosy=0 \) da cui y=0 quindi, sostituendo in g(x,y) ho \(\displaystyle x^2=32 \) da cui i due punti \(\displaystyle A( -4 \sqrt2, 0) \) e \(\displaystyle B(4\sqrt2,0) \).
Adesso calcolo l'hessiano:
la derivata seconda di f(x,y) rispetto a x è -2;
la derivata seconda rispetto a y è -sin y;
la derivata seconda rispetto a x e y è 0
quindi H=2siny che, per y=0, è 0.
\(\displaystyle f(x,y)=-x^2-y+sin y \)
\(\displaystyle g(x,y)=x^2+y^2=32 \) ---> \(\displaystyle x^2=32-y^2 \)
\(\displaystyle h(y)=-32+y^2-y+siny \)
\(\displaystyle h'(y)=2y-1+cosy=0 \) da cui y=0 quindi, sostituendo in g(x,y) ho \(\displaystyle x^2=32 \) da cui i due punti \(\displaystyle A( -4 \sqrt2, 0) \) e \(\displaystyle B(4\sqrt2,0) \).
Adesso calcolo l'hessiano:
la derivata seconda di f(x,y) rispetto a x è -2;
la derivata seconda rispetto a y è -sin y;
la derivata seconda rispetto a x e y è 0
quindi H=2siny che, per y=0, è 0.
Il vincolo $g(x,y) $ è $x^2+y^2=32 $ o $2x^2+y^2 =32 $ ?
Se è il primo ti sei ricondotto alla studio di una funzione di una variabile $f(y,y) = -32+y^2-y+siny $ , completa lo studio calcolando la derivata seconda e così determinando se $ y=0 $ è punto di max o min .
Edit : corretto segno
Se è il primo ti sei ricondotto alla studio di una funzione di una variabile $f(y,y) = -32+y^2-y+siny $ , completa lo studio calcolando la derivata seconda e così determinando se $ y=0 $ è punto di max o min .
Edit : corretto segno
"Camillo":
$f(y,y) = -32-y^2-y+siny $
Ciao Camillo. Forse è $f(y)=-32+y^2-y-\sin y$ ?
@Theras: mannaggia
mi hai messo in crisi ieri con il discorso delle semi-ellissi...è molto più semplice così!
Il segno di $y^2 $ era sbagliato, ma perchè $ - sin y $ ? Ho chiamato la funzione $f(y,y) $ per ricordare che nasce da una funzione di due variabili etc etc.
@Plepp: perchè hai messo - prima del seno?
@ Camillo: la derivata seconda è 2-siny che non si annulla mai ma è sempre >0 ...quindi A e B sono entrambi dei minimi, giusto?
@ Camillo: la derivata seconda è 2-siny che non si annulla mai ma è sempre >0 ...quindi A e B sono entrambi dei minimi, giusto?
Devi valutare quanto vale la derivata seconda in $y=0 $ e dato che vale $2> 0 $ sono dei minimi .
"Camillo":
Ho chiamato la funzione $f(y,y) $ per ricordare che nasce da una funzione di due variabili etc etc.
Si, si, questo era chiaro
perchè $ - sin y $ ?
Ho sbagliato nel ricopiare
ora ho capito! grazie!!!
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