Massimi e minimi di una funzione $f(x,y)$

[gbspeedy]

Ho la seguente funzione $f(x,y)=max{1-sqrt(x^2+y^2),2-sqrt((x-6)^2+y^2),0}$ e devo calcolarne i massimi e i minimi locali e globali.
Ho trovato che $1-sqrt(x^2+y^2)=2-sqrt((x-6)^2+y^2$ su un'ellisse ma non riesco a capire come studiare gli estremanti.

[Wilde1]

innanzitutto possiamo vedere che la funzione $f(x,y) in [0,2]$
in particolare:
$ f(x,y)=max{1-sqrt(x^2+y^2),2-sqrt((x-6)^2+y^2),0} =0\quad\quad $
$\forall (x,y) in (R^2\setminus (S((0,0),1) U S((6,0),2))) $
dove S((0,0),1) è il disco aperta di centro (0,0) e raggio 1 e analogo..

e $f(x,y)=1-sqrt(x^2+y^2)\quad \forall (x,y) in S((0,0),1)$
e $f(x,y)=2-sqrt((x-6)^2+y^2)\quad \forall (x,y) in S(6,0),2$

Allora ora posso lavorare sui singoli pezzi con classiche funzioni di due variabili (in particolare è facile vedere max e min semplicemente guardandole, senza usare metodi specifici)
Prova a finirlo tu

[gbspeedy]

ma non sono coni infiniti invece che sfere?

[Wilde1]

A si scusa... volevo dire cerchio, disco... siamo in $R^2$

[gbspeedy]

ma come posso specificare le regioni in cui studiare i massimi e i minimi?

[Wilde1]

Prova a ragionare su quanto ti ho scritto...
Scusami ma fatico a comprendere le due domande.. cerca di essere più preciso nel spiegarmi cosa non ti è chiaro

[gbspeedy]

Sono in $R^2$ dove ho rappresentato due cerchi (uno centrato nell'origine di raggio 1 e l'altro centrato nel punto (6,0) di raggio 2).Al di fuori dei cerchi la funzione è nulla, se mi restringo alla frontiera dei cerchi è nulla. Per l'interno dei cerchi devo studiare i gradienti e l'hessiana?

[Wilde1]

prima di risponderti ti faccio ancora una domanda: hai capito perche la funzione diventa quella che ti ho detto io?
Nel tuo esercizio tu dovrai cercare di giustificarlo.

"gbspeedy":Sono in $R^2$ dove ho rappresentato due cerchi (uno centrato nell'origine di raggio 1 e l'altro centrato nel punto (6,0) di raggio 2).Al di fuori dei cerchi la funzione è nulla, se mi restringo alla frontiera dei cerchi assuma valore 1 e 2. per l'interno dei cerchi devo studiare i gradienti e l'hessiana?

In teoria puoi fare così, ma può essere che i calcoli diventino eccessivi.

Puoi però accorgerti anche ad occhio ( cercando poi di giustificarle senza usare il metodo precedente, calcolando magari solo il gradiente) che abbiamo due punti di max nei rispettivi centri dei dischi e punti di min al di fuori dei dischi (e nessun altro punto di max e min)

Io ho fatto tutto ad occhi senza nemmeno un minimo calcolo... tocca a te vedere che non perdiamo nulla e scegliere il metodo migliore

[gbspeedy]

Posso anche dire che la funzione max è continua e vedendo i cerchi come compatti per il teorema di Weierstrass assume massimo e minimo assoluto.Inoltre la funzione è positiva all'interno dei cerchi.

[Wilde1]

Si questo è corretto ma purtroppo questo ragionamento non ti dice nulla su max e min relativi (ma te cerchi anche quelli)

[gbspeedy]

Ho scritto $f(x,y)=1-sqrt(x^2+y^2)$ in coordinate polari e ottengo una funzione $f(rho)=1-rho$ decrescente che ha massimo per $rho=0$.Lo stesso con l'altra funzione.Così dimostro che il max assoluto è in $(6,0)$ e vale 2, il massimo locale in $(1,0)$ e vale 1 ed il minimo assoluto vale 0 negli infiniti punti fuori dai dischi aperti.

[Wilde1]

Esattamente questo può essere un modo, in questo modo hai fatto vedere che ne primo disco in effetti ha un solo punto di max nel centro
puoi fare analogamente nell'altro disco...
ottimo