Massimi e minimi di una funzione di due variabili
Salve a tutti,
volevo chiedere il vostro aiuto riguardo il seguente esercizio.
Determinare gli eventuali estremi relativi e gli estremi assoluti della funzione
$f(x,y)=|x-y^3|(x^3-y)e^(-((|x-y^3|(x^3-y))^(1/3)))$
nel suo campo di esistenza.
Determinare poi gli estremi assoluti della restrizione all'insieme
$E={(x,y)in RR^2: y-x^3>=0,x-y^3>=0}$
Ci sono diverse cose che non ho compreso, ma voglio proseguire per gradi.
La funzione è composta da $g(x,y)=|x-y^3|(x^3-y)$ e $phi(t)=te^(-t^(1/3))$
A questo punto dovrei studiare g(x,y) per valutarne i punti critici. Il mio primo dubbio riguarda il valore assoluto. Come si fa a trovare il gradiente di g(x,y)?è lecito valutare due casi?
volevo chiedere il vostro aiuto riguardo il seguente esercizio.
Determinare gli eventuali estremi relativi e gli estremi assoluti della funzione
$f(x,y)=|x-y^3|(x^3-y)e^(-((|x-y^3|(x^3-y))^(1/3)))$
nel suo campo di esistenza.
Determinare poi gli estremi assoluti della restrizione all'insieme
$E={(x,y)in RR^2: y-x^3>=0,x-y^3>=0}$
Ci sono diverse cose che non ho compreso, ma voglio proseguire per gradi.
La funzione è composta da $g(x,y)=|x-y^3|(x^3-y)$ e $phi(t)=te^(-t^(1/3))$
A questo punto dovrei studiare g(x,y) per valutarne i punti critici. Il mio primo dubbio riguarda il valore assoluto. Come si fa a trovare il gradiente di g(x,y)?è lecito valutare due casi?
Risposte
Provo ad azzardare una risoluzione.
Distinguiamo due casi:
1) $g(x,y)=(x-y^3)(x^3-y^3)$ per $x-y^3>=0$
2) $g(x,y)=(y^3-x)(x^3-y^3)$ per $x-y^3<0$
1) ${(g_x=4x^3-3x^2y^3-y=0),(g_y=4y^3-3y^2x^3-x=0):}$
2) ${(g_x=-4x^3+3x^2y^3+y=0),(g_y=-4y^3+3y^2x^3+x=0):}$
I due sistemi hanno le medesime soluzioni:$ (0,0),(1,1),(-1,-1),(-sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3),(sqrt(3)/3,sqrt(3)/3)$
1)$H_f=|(12x^2-6xy^3,-(9x^2y^2+1)),(-(9x^2y^2+1),12y^2-6yx^3)|=(12x^2-6xy^3)(12y^2-6yx^3)-(9x^2y^2+1)^2$
a. $H_f (0,0)=-1<0$
b. $H_f (1,1)=-64<0$
c. $H_f (-1,-1)=-64<0$
d. $H_f (sqrt(3)/3,sqrt(3)/3)=64/9>0$ $g_text(xx)>0$
e. $H_f(-sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3)=6a/9>0$ $g_text(xx)>0$
2)$H_f=|(-12x^2+6xy^3,9x^2y^2+1),(9x^2y^2+1,-12y^2+6yx^3)|=(12x^2-6xy^3)(12y^2-6yx^3)-(9x^2y^2+1)^2$
a. $H_f (0,0)=-1<0$
b. $H_f (1,1)=-64<0$
c. $H_f (-1,-1)=-64<0$
d. $H_f (sqrt(3)/3,sqrt(3)/3)=64/9>0$ $g_text(xx)<0$
e. $H_f(-sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3)=6a/9>0$ $g_text(xx)<0$
Quindi la funzione non ha ne massimo, ne minimo relativo nel suo dominio.
Vi sembra corretto?Se si come posso fare a studiarne il comportamento in E?
Distinguiamo due casi:
1) $g(x,y)=(x-y^3)(x^3-y^3)$ per $x-y^3>=0$
2) $g(x,y)=(y^3-x)(x^3-y^3)$ per $x-y^3<0$
1) ${(g_x=4x^3-3x^2y^3-y=0),(g_y=4y^3-3y^2x^3-x=0):}$
2) ${(g_x=-4x^3+3x^2y^3+y=0),(g_y=-4y^3+3y^2x^3+x=0):}$
I due sistemi hanno le medesime soluzioni:$ (0,0),(1,1),(-1,-1),(-sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3),(sqrt(3)/3,sqrt(3)/3)$
1)$H_f=|(12x^2-6xy^3,-(9x^2y^2+1)),(-(9x^2y^2+1),12y^2-6yx^3)|=(12x^2-6xy^3)(12y^2-6yx^3)-(9x^2y^2+1)^2$
a. $H_f (0,0)=-1<0$
b. $H_f (1,1)=-64<0$
c. $H_f (-1,-1)=-64<0$
d. $H_f (sqrt(3)/3,sqrt(3)/3)=64/9>0$ $g_text(xx)>0$
e. $H_f(-sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3)=6a/9>0$ $g_text(xx)>0$
2)$H_f=|(-12x^2+6xy^3,9x^2y^2+1),(9x^2y^2+1,-12y^2+6yx^3)|=(12x^2-6xy^3)(12y^2-6yx^3)-(9x^2y^2+1)^2$
a. $H_f (0,0)=-1<0$
b. $H_f (1,1)=-64<0$
c. $H_f (-1,-1)=-64<0$
d. $H_f (sqrt(3)/3,sqrt(3)/3)=64/9>0$ $g_text(xx)<0$
e. $H_f(-sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3)=6a/9>0$ $g_text(xx)<0$
Quindi la funzione non ha ne massimo, ne minimo relativo nel suo dominio.
Vi sembra corretto?Se si come posso fare a studiarne il comportamento in E?
up
up
up
up
mi interessa questo topic, ma su max e min sto messo peggio di te mi sa
up!
up!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo