Massimi e minimi di una funzione con valore assoluto
Ciao a tutti!
L'esercizio dice:
Data la funzione \( f(x)=x^2-5|x|+6 \) sull'intervallo $[-1,2]$ determinare i massimi e minimi
Ho distinto i casi per x>0 e x<0
\( f(x)\begin{cases} x^2-5x+6 per x>=0\\ x^2+5x+6 per x<=0\\ \end{cases} \)
e ho calcolato le derivate prime
\( f'(x)\begin{cases} 2x-5 per x>0\\ 2x+5 per x<0\\ \end{cases} \)
a questo punto non so più come devo continuare, mi spieghereste gentilmente come si risolve?
L'esercizio dice:
Data la funzione \( f(x)=x^2-5|x|+6 \) sull'intervallo $[-1,2]$ determinare i massimi e minimi
Ho distinto i casi per x>0 e x<0
\( f(x)\begin{cases} x^2-5x+6 per x>=0\\ x^2+5x+6 per x<=0\\ \end{cases} \)
e ho calcolato le derivate prime
\( f'(x)\begin{cases} 2x-5 per x>0\\ 2x+5 per x<0\\ \end{cases} \)
a questo punto non so più come devo continuare, mi spieghereste gentilmente come si risolve?
Risposte
Il fatto che la $f'$ sia definita per casi ti disorienta?
Poni $f'(x)=0$ per cercare i punti stazionari: se $x>0$ l'equazione diventa $2x-5=0$ con soluzione $x=5/2$ che non appartiene all'intervallo $[-1,2]$; se $x<0$, la soluzione è $x=-5/2$, che non appartiene all'intervallo. Ne deduci che $f$ non ha punti stazionari in $[-1,2]$. In $x=0$ la $f$ non è derivabile.
D'altra parte, essendo $f$ continua e $[-1,2]$ chiuso e limitato, per il teorema di Weierstrass $f$ ammette certamente punti di massimo e di minimo assoluti, diciamoli $x_M$ e $x_m$.
Siccome $f$ è derivabile in $(-1,0)$ e in $(0,2)$, non può essere che $x_m,x_M\in (-1,0)\cup (0,2)$, altrimenti $x_m,x_M$ sarebbero punti di minimo/massimo interni al dominio di $f$ e quindi, per il teorema di Fermat, dovrebbero essere punti stazionari, ma abbiamo visto che punti stazionari non ce ne sono.
Dunque $x_m,x_M\in \{-1,0,2\}$: fai un confronto tra le immagini di questi tre punti e stabilisci qual è il minimo e quale è il massimo.
Poni $f'(x)=0$ per cercare i punti stazionari: se $x>0$ l'equazione diventa $2x-5=0$ con soluzione $x=5/2$ che non appartiene all'intervallo $[-1,2]$; se $x<0$, la soluzione è $x=-5/2$, che non appartiene all'intervallo. Ne deduci che $f$ non ha punti stazionari in $[-1,2]$. In $x=0$ la $f$ non è derivabile.
D'altra parte, essendo $f$ continua e $[-1,2]$ chiuso e limitato, per il teorema di Weierstrass $f$ ammette certamente punti di massimo e di minimo assoluti, diciamoli $x_M$ e $x_m$.
Siccome $f$ è derivabile in $(-1,0)$ e in $(0,2)$, non può essere che $x_m,x_M\in (-1,0)\cup (0,2)$, altrimenti $x_m,x_M$ sarebbero punti di minimo/massimo interni al dominio di $f$ e quindi, per il teorema di Fermat, dovrebbero essere punti stazionari, ma abbiamo visto che punti stazionari non ce ne sono.
Dunque $x_m,x_M\in \{-1,0,2\}$: fai un confronto tra le immagini di questi tre punti e stabilisci qual è il minimo e quale è il massimo.
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