Massimi e minimi di una funzione a più variabili

[Valchiria1]

Salve, mi sono venuti diversi dubbi durante lo svolgimento di questo esercizio:
determinare i punti di massimo e minimo relativi di $f(x,y)=|log_2(x^2-4x)|+x(y-e^(2x))^2$
Il risultato è $(2+5^(1/2),-e^(4+2(5)^(1/2)))$
Considero il dominio $D_f: 04$
Valuto prima una delle due derivate parziali per poi trovare una curva di massimi/minimi e andarla a studiare; scelgo $f_y$
$f_y=2x(y-e^(2x))$ che si annulla per $y=e^(2x)$, considerando $f_y>0$ ottengo una curva di minimi per $y=e^(2x)$.
studio allora $varphi(x)=f(x,e^(2x))$ ottenendo $(2+5^(1/2),e^(4+2(5)^(1/2)))$ e $(2-5^(1/2),e^(4-2(5)^(1/2)))$ come possibil punti di minimo.
Dovrei dimostrare ora che $f(x,y)>=f(2+5^(1/2),e^(4+2(5)^(1/2)))$ cioè $|log_2(x^2-4x)|>=-x(y-e^(2x))^2$ ma dal dominio so che $x<0$ e $x>4$, come faccio a dimostrarlo?
Inoltre non capisco nel risultato da dove esce il meno, cioè io mi trovo $(2+5^(1/2),e^(4+2(5)^(1/2)))$, il libro invece $ (2+5^(1/2),-e^(4+2(5)^(1/2))) $ , cosa ho sbagliato?

[ciampax]

Il segno meno credo sia un refuso, oppure dentro le parentesi c'è $y+e^{2x}$.
Non capisco invece il tuo problema: basterebbe far vedere che il primo punto è un minimo assoluto e il gioco è fatto (suggerimento: osserva per prima cosa che la funzione $\varphi$ è sempre positiva...)

[Valchiria1]

Ma l'esercizio richiede i max/min relativi e la soluzione porta il punto come minimo relativo, avevo trovato che
$f(2+5^(1/2),e^(4+2(5)^(1/2)))=0$ e so che $varphi(x)=f(x,e^(2x))= |log_2(x^2-4x)|>=0$
ora però devo dimostrare che $ f(x,y)>=f(x,e^(2x)) $ cioè $ |log_2(x^2-4x)|>=-x(y-e^(2x))^2 $ ma il problema è la x che se fosse negativa non mi dà una maggiorazione immediata..
Non capisco come concludere

[Valchiria1]

Ah giusto, però essendo $D_f: 04$ sul grafico in questo caso per considerare un intorno opportuno di $x_0=(2+5^(1/2))$ è necessaria una limitazione del tipo $4
Cioè per il breve tratto tra $4$ e $x_0$ la funzione $y=e^(2x)$ decresce e poi superato $x_0$ cresce, quindi se scelgo un $4=f(x,e^(2x))$ è vero essendo sicuramente $x>0$ e poi vale
$f(x,y)>=f(x,e^(2x))>=(2+5^(1/2),e^(4+2(5)^(1/2)))$ ??

[Valchiria1]

Il grafico è alquanto brutto ma spero renda l'idea

Il libro in questi esercizi dice di fare i grafici in questo modo,nel grafico ho $y>e^(2x)$, $ y Un esercizio simile del libro, $f(x,y)=x^4-2x^2+(e^x-y)^4$ in cui aveva una curva di minimi in $y=e^x$ c'era un grafico identico a questo, trova il punto $(1,e)$ come minimo relativo ma la disuguaglianza $f(x,y)>=f(1,e)$ vale per ogni x e allora considerava un intorno del punto come quello nella foto, infatti per essere punto di minimo devo avere che la funzione è decrescente a sinistra e crescente a destra del punto; ora nel mio caso la disuguaglianza $|log_2(x^2-4x)|>=-x(y-e^(2x))^2 $ vale per ogni x maggiore di zero, precisamente per ogni $x>4$, l'intorno di cui ho bisogno per dimostrare che il punto è minimo relativo è semplicemente $ x \in (4. +\infty) $ o è necessaria,come avevo scritto, $ 4=f(x,e^(2x)) $per ogni x maggiore di 0, potrei prendere anche un punto a destra di $ x_0=(2+5^(1/2)) $, oppure in qualche modo riguarda lo studio di $f(x,e^(2x))$ ??

"arnett":
Qua non ti seguo: la funzione $ y=e^(2x) $ è strettamente crescente su tutto $ \mathbb{R} $ (e non capisco cosa c'entri questo).

Ho sbagliato a scrivere, intendevo $f(x,e^(2x))$

"arnett":
Comunque l'ultima catena di uguaglianze che hai scritto è giusta: $ f(x,y)>=f(x,e^(2x))>=f(2+5^(1/2),e^(4+2(5)^(1/2))) $, anche se non c'è nessun motivo a mio modo di vedere per passare attraverso il membro centrale.

Passo per il membro centrale perchè è da quello che ho trovato il minimo e quindi per maggiorazione dimostro che è minimo relativo per la funzione, infatti $f(x,e^(2x))$ è la curva di minimi che ho trovato