Massimi e minimi di una funzione a due variabili
Ciao a tutti,
Avrei bisogno di un aiuto per risolvere questo esercizio.
[img]http://desmond.imageshack.us/Himg824/scaled.php?server=824&filename=esercizioi.jpg&res=landing[/img]
Mi aiutate a capire come procedere?
Grazie mille
Avrei bisogno di un aiuto per risolvere questo esercizio.
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Mi aiutate a capire come procedere?
Grazie mille
Risposte
Beh, è un esercizio standard... Dove trovi difficoltà?
Come prima cosa valuto i punti interni per cui il gradiente è nullo. Considerando la matrice hessiana valuto quali sono i punti di massimo, minimo e di sella. Per valutare i punti sulla frontiera come procedo?
domanda: quel dominio ti serve solo per svolgere l'integrale, giusto?
"ludwigZero":
domanda: quel dominio ti serve solo per svolgere l'integrale, giusto?
No no, quello è il domonio della funzione, pertanto i punti di massimo e minimo vanno valutati considerando il dominio.
non vorrei dire una stupidaggine, io credo che bisogna fare le intersezioni di quelle tre disequazioni, io avrei usato i moltiplicatori di lagrange, gugo puoi confermare disconfermare?
L'intersezione delle disequazioni non so dove possa portarmi. Il problema è che io non capisco se posso usare i moltiplicatori di Lagrange. Non si usano quando una funzione è soggetta ad un vincolo?
Consideriamo le derivate parziali prime rispetto ad x ed a y, ottengo:
\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \) \(\displaystyle = 2y^2 \)
\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} \) \(\displaystyle = 4xy \)
Poniamo le 2 equazioni uguali a 0:
\(\displaystyle 2y^2=0 \)
\(\displaystyle 4xy=0 \)
L'unico punto stazionario è \(\displaystyle \left ( 0,0 \right ) \).
La matrice hessiana è:
\(\displaystyle \begin{bmatrix} 0 & 4y \\ 4y & 4x \end{bmatrix} \)
Pertanto nel punto \(\displaystyle \left ( 0,0 \right ) \) sarà:
\(\displaystyle \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)
Quindi la matrice hessiana, in questo caso, non mi aiuta, o sbaglio?
Il punto \(\displaystyle \left ( 0,0 \right ) \) appartiene al dominio.
Come stabilisco quale tipo di punto critico sia?
\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \) \(\displaystyle = 2y^2 \)
\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} \) \(\displaystyle = 4xy \)
Poniamo le 2 equazioni uguali a 0:
\(\displaystyle 2y^2=0 \)
\(\displaystyle 4xy=0 \)
L'unico punto stazionario è \(\displaystyle \left ( 0,0 \right ) \).
La matrice hessiana è:
\(\displaystyle \begin{bmatrix} 0 & 4y \\ 4y & 4x \end{bmatrix} \)
Pertanto nel punto \(\displaystyle \left ( 0,0 \right ) \) sarà:
\(\displaystyle \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)
Quindi la matrice hessiana, in questo caso, non mi aiuta, o sbaglio?
Il punto \(\displaystyle \left ( 0,0 \right ) \) appartiene al dominio.
Come stabilisco quale tipo di punto critico sia?
c'era un modo per svolgerlo con gli autovalori, altrimenti con lo studio sulla frontiera, io attenderei qualche consgilio da gugo o altri
Anche io penso che bisogna valutarli sulla frontiera. Ma come procedo?
Ciao ad entrambi,ragazzi:
vogliamo provare a fare un pò d'ordine,che mi sembra ci sia confusione?
Avete già disegnato il dominio?
No,perchè se l'avete fatto avrete già notato che non c'è modo di trovare un intorno circolare dell'origine t.c. la nostra funzione,
in tutti i suoi punti,sia non minore o non maggiore di f(0,0)=0:
mi sà che ciò significa come (0,0),
che è l'unico "candidato" saltato fuori dall'annullamento del gradiente di f(o $nablaf$ che dir si voglia..),
sia ben lontano da poter essere estremo assoluto per f!
Però la f,come appunto sottointendavate(vero?),in quel dominio chiuso e limitato(lo è?E perchè?),
deve ammetter max e min assoluto in D per Weierstrass;
allora,sapendo già che nè uno nè l'altro potrà "nascere" dai punti stazionari della f,due sono le cose:
1)Almeno uno dei due "nasce" da punti interni a D nei quali f non è parzialmente derivabile rispetto ad almeno una delle sue incognite
(e nel caso specifico,magari ditemi perchè,mi si forma automaticamente la parola nisba in testa
).
2)Essi si trovano sulla frontiera di D.
A questo punto,in effetti,la sola strada percorribile nella nostra ricerca sembra l'ultima;
il metodo dei moltiplicatori sembrerebbe un buon escamotage,
ma ad occhio e croce lo si può applicare rigorosamente solo procedendo,in prima istanza,
con un laborioso "spezzettamento" di $partialD$ in vincoli sufficentemente regolari,
ed in un secondo momento con un confronto tra i min ed i max che salterebbero fuori da ogni sengolo "pezzo" di tale frontiera:
no no m'arrendo in partenza,
terrorizzato dall'assenza di carta e penna e dal potenziale peso computazionale di questa strategia
(poi ognuno è padrone del proprio destino e di far tutte le esperienze che ritiene opportune,
anche perchè son importanti pure quelle tali da poter tornare indietro qualora si rivelassero controproducenti..),
ed opterei decisamente per la parametrizzazione di quel settore iperbolico e,di seguito,i buoni vecchi studi di funzione in $theta$!
Buon lavoro:
saluti dal web.
vogliamo provare a fare un pò d'ordine,che mi sembra ci sia confusione?
Avete già disegnato il dominio?
No,perchè se l'avete fatto avrete già notato che non c'è modo di trovare un intorno circolare dell'origine t.c. la nostra funzione,
in tutti i suoi punti,sia non minore o non maggiore di f(0,0)=0:
mi sà che ciò significa come (0,0),
che è l'unico "candidato" saltato fuori dall'annullamento del gradiente di f(o $nablaf$ che dir si voglia..),
sia ben lontano da poter essere estremo assoluto per f!
Però la f,come appunto sottointendavate(vero?),in quel dominio chiuso e limitato(lo è?E perchè?),
deve ammetter max e min assoluto in D per Weierstrass;
allora,sapendo già che nè uno nè l'altro potrà "nascere" dai punti stazionari della f,due sono le cose:
1)Almeno uno dei due "nasce" da punti interni a D nei quali f non è parzialmente derivabile rispetto ad almeno una delle sue incognite
(e nel caso specifico,magari ditemi perchè,mi si forma automaticamente la parola nisba in testa
).2)Essi si trovano sulla frontiera di D.
A questo punto,in effetti,la sola strada percorribile nella nostra ricerca sembra l'ultima;
il metodo dei moltiplicatori sembrerebbe un buon escamotage,
ma ad occhio e croce lo si può applicare rigorosamente solo procedendo,in prima istanza,
con un laborioso "spezzettamento" di $partialD$ in vincoli sufficentemente regolari,
ed in un secondo momento con un confronto tra i min ed i max che salterebbero fuori da ogni sengolo "pezzo" di tale frontiera:
no no m'arrendo in partenza,
terrorizzato dall'assenza di carta e penna e dal potenziale peso computazionale di questa strategia
(poi ognuno è padrone del proprio destino e di far tutte le esperienze che ritiene opportune,
anche perchè son importanti pure quelle tali da poter tornare indietro qualora si rivelassero controproducenti..),
ed opterei decisamente per la parametrizzazione di quel settore iperbolico e,di seguito,i buoni vecchi studi di funzione in $theta$!
Buon lavoro:
saluti dal web.
Grazie mille per la risposta.
Come si procede nello "spezzettamento" di \(\displaystyle \partial D\ \)?
Come si procede nello "spezzettamento" di \(\displaystyle \partial D\ \)?
Disegnala,e te ne avvedi da solo:
un segmento c'è sicuro,così come due sottoinsiemi di quell'iperbole!
Fallo,che magari ti salta fuori qualcosa che ti sarebbe utile qualora alla fine optassi per parametrizzare:
gli estremi di quel segmento(e non solo d'esso..),ed esempio..
Saluti dal web.
un segmento c'è sicuro,così come due sottoinsiemi di quell'iperbole!
Fallo,che magari ti salta fuori qualcosa che ti sarebbe utile qualora alla fine optassi per parametrizzare:
gli estremi di quel segmento(e non solo d'esso..),ed esempio..
Saluti dal web.
Bel casino con i moltiplicatori di lagrange.
Già a volte è un casino far per bene l'esercizio, se poi si mettono pure i conti strampalati.
Per la figura, l'ho guardata con wolfram:
Bisognerebbe parametrizzare questa:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... %3E%3D+2x+
credo che si debba passare con coordinate polari:
$x= \rho cos \theta$
$y = \rho sin \theta$
se è questo che consiglia theras
Già a volte è un casino far per bene l'esercizio, se poi si mettono pure i conti strampalati.
Per la figura, l'ho guardata con wolfram:
Bisognerebbe parametrizzare questa:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... %3E%3D+2x+
credo che si debba passare con coordinate polari:
$x= \rho cos \theta$
$y = \rho sin \theta$
se è questo che consiglia theras
"ludwigZero":
Bel casino con i moltiplicatori di lagrange.
Già a volte è un casino far per bene l'esercizio, se poi si mettono pure i conti strampalati.
Per la figura, l'ho guardata con wolfram:
Bisognerebbe parametrizzare questa:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... %3E%3D+2x+
credo che si debba passare con coordinate polari:
$x= \rho cos \theta$
$y = \rho sin \theta$
se è questo che consiglia theras
Beh,in un certo senso si;
solo che,almeno per quanto riguarda la parte iperbolica di quel bordo
(chiedo scusa,ma la fretta è cattiva consigliera e nel valutare troppo velocemente quella conica non avevo notato il -1 al secondo membro..),
è più opportuna,dal punto di vista teorico e pratico,porre $x=(2sqrt(2))tg theta,y=4/(cos theta)$
(ho scelto la rappresentazione in coordinate trigonometriche tradizionali,invece che iperboliche,
solo per il ricordo della mia ottima insegnante d'esecitazioni d'Analisi II che con quella scelta si perse nei conti davanti ad un esercizio simile,
ma non son sicurissimo che in questo caso non sia più "conveniente" proprio quella che fà uso di queste ultime..):
sarà ben più immediato,prima del necessario confronto tra gli estremi di f rispettivamente ottenuti,
"estremare" sulla sua parte lineare.
Saluti dal web.
in che senso estremare sulla parte lineare?
(scusa se te lo chiedom ma non so cosa voglia dire...)
(scusa se te lo chiedom ma non so cosa voglia dire...)
"ludwigZero":
in che senso estremare sulla parte lineare?
(scusa se te lo chiedo ma non so cosa voglia dire...)
Nel senso di trovare massimi e minimi assoluti di f,rispettivamente,
sui due lati di quel settore iperbolico e sulla sua parte curvilinea,ed infine confrontarli
(chiaramente su quei segmenti non c'è bisogno di parametrizzare,ma solo di trovare le coordinate dei rispettivi estremi e,
in ultima analisi,sostituire "brutalmente" in f le rispettive relazioni lineari tra le coordinate cartesiane,
dopo averne opportunamente ristretti i domini..):
saluti dal web.
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