Massimi e minimi di una funzione
devo trovare i punti di max e min di una funzione [tex]f(x,y):=2e^x(x-y)^2[/tex] ed evidenziare gli entuali punti max e min assoluti.
io procederei cosi, come prima cosa mi devo trovare le soluzioni del sistema [tex]\begin{cases}f_x(x,y)=2e^x(x-y)^2 \\ f_y(x,y)=2e^x(x-y)^2 \end{cases}[/tex] dove [tex]f_x[/tex] e [tex]f_y[/tex] sono le derivate rispetto alla x e rispetto alla y e poi calcolo la matrice hessiana [tex]\begin{vmatrix} f^2{_x{_x}} & f^2{_x{_y}} \\ f^2{_y{_x}} & f^2{_y{_y}} \end{vmatrix}[/tex] dove [tex]f^2{_x{_x}}[/tex] è la derivata seconda rispetto a x [tex]f^2{_y{_y}}[/tex] è la derivata seconda rispetto a y e [tex]f^2{_x{_y}}[/tex] e [tex]f^2{_y{_x}}[/tex], non so cosa sono...
La prima cosa che non mi torna è risolvere il sistema, a me la derivata rispetto alla x mi viene [tex]4xe^x+2y^2e^x-4ye^x[/tex] mentre la derivata rispetto alla y mi viene [tex]4ye^x-4xe^x[/tex], ho fatto bene?
io procederei cosi, come prima cosa mi devo trovare le soluzioni del sistema [tex]\begin{cases}f_x(x,y)=2e^x(x-y)^2 \\ f_y(x,y)=2e^x(x-y)^2 \end{cases}[/tex] dove [tex]f_x[/tex] e [tex]f_y[/tex] sono le derivate rispetto alla x e rispetto alla y e poi calcolo la matrice hessiana [tex]\begin{vmatrix} f^2{_x{_x}} & f^2{_x{_y}} \\ f^2{_y{_x}} & f^2{_y{_y}} \end{vmatrix}[/tex] dove [tex]f^2{_x{_x}}[/tex] è la derivata seconda rispetto a x [tex]f^2{_y{_y}}[/tex] è la derivata seconda rispetto a y e [tex]f^2{_x{_y}}[/tex] e [tex]f^2{_y{_x}}[/tex], non so cosa sono...
La prima cosa che non mi torna è risolvere il sistema, a me la derivata rispetto alla x mi viene [tex]4xe^x+2y^2e^x-4ye^x[/tex] mentre la derivata rispetto alla y mi viene [tex]4ye^x-4xe^x[/tex], ho fatto bene?
Risposte
Devi trovare le soluzioni del sistema:
[tex]\begin{sistema}
f_x(x,y) = 0 \\
f_y(x,y) = 0
\end{sistema}[/tex],
non di quello che hai scritto tu, che di fatto corrisponde a:
[tex]\begin{sistema}
f_x(x,y) = f(x,y) \\
f_y(x,y) = f(x,y)
\end{sistema}[/tex].
La derivata parziale rispetto a [tex]y[/tex] è corretta, mentre per l'altra mi pare c'è qualche problema, ricontrollala
[tex]f_{xy}(x,y)[/tex] e [tex]f_{xy}(x,y)[/tex] sono le derivate miste (che, sotto opportune ipotesi, coincidono tra loro, vedi teorema di Schwarz):
la prima è la derivata rispetto a [tex]y[/tex] di [tex]f_x[/tex],
la seconda è la derivata rispetto a [tex]x[/tex] di [tex]f_y[/tex].
Inoltre nella hessiana non mi risulta che ci vadano i quadrati (oppure li hai messi per indicare che erano derivate seconde, ma questo fatto è già espresso dai doppi pedici, quindi il 2 a esponente è pleonastico).
PS: a volte le derivate conviene lasciarle scomposte in fattori
[tex]\begin{sistema}
f_x(x,y) = 0 \\
f_y(x,y) = 0
\end{sistema}[/tex],
non di quello che hai scritto tu, che di fatto corrisponde a:
[tex]\begin{sistema}
f_x(x,y) = f(x,y) \\
f_y(x,y) = f(x,y)
\end{sistema}[/tex].
La derivata parziale rispetto a [tex]y[/tex] è corretta, mentre per l'altra mi pare c'è qualche problema, ricontrollala
[tex]f_{xy}(x,y)[/tex] e [tex]f_{xy}(x,y)[/tex] sono le derivate miste (che, sotto opportune ipotesi, coincidono tra loro, vedi teorema di Schwarz):
la prima è la derivata rispetto a [tex]y[/tex] di [tex]f_x[/tex],
la seconda è la derivata rispetto a [tex]x[/tex] di [tex]f_y[/tex].
Inoltre nella hessiana non mi risulta che ci vadano i quadrati
(oppure li hai messi per indicare che erano derivate seconde, ma questo fatto è già espresso dai doppi pedici, quindi il 2 a esponente è pleonastico).PS: a volte le derivate conviene lasciarle scomposte in fattori
se non ho fatto errori di calcolo (ma ti conviene sempre ricontrollare meglio) le derivate $f_x$ e $f_y$ verrebbero :
$f_x=2e^x(x-y)^2+2(x-y)2e^x$
$f_y=-2(x-y)2e^x$
che devi porre in un sistema eguagliando entrambe a zero...
per il resto ha detto già tutto Whisky 84
$f_x=2e^x(x-y)^2+2(x-y)2e^x$
$f_y=-2(x-y)2e^x$
che devi porre in un sistema eguagliando entrambe a zero...
per il resto ha detto già tutto Whisky 84
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