Massimi e minimi di $f(x,y)$ integrale su un insieme E

[gbspeedy]

Ho la seguente funzione : $f(x,y)= int_(x^2)^(y) te^-t log(1+t) dx $ e devo trovare gli estremanti sull'insieme $E={(x,y): 0<=x<=1,0<=y<=x^2}$

Chiamo $g(t)$ la funzione integranda : $g\in C^oo(-1,+oo)$ e quindi f è continua su E.

E è un insieme compatto e quindi per il teo di Weierstrass f ammette massimo e minimo assoluto su E ( che possono essere interni ad E o sulla sua frontiera).

Per studiare l'interno di E calcolo il gradiente : $\nabla f(x,y)=(-2x^3e^(-x^2)log(1+x^2),ye^-ylog(1+y))$ ma per il bordo?

[Luca.Lussardi]

Se disegni $E$ vedi subito da cosa e' fatto il suo bordo... la parte piu' complicata e' $y=x^2$ che pero' rende $f$ molto semplice...

[gbspeedy]

se considero la restrizione a $y=x^2$ ottengo $f(x,x^2)=0$. Se invece mi restringo a $f(x,0)=\phi(0)-\phi(x^2)$ con $phi$ primitiva di $g(t)$.Così $f'(x,0)=-2x^3e^(-x^2)log(1+x^2)$ e quindi la funzione è decrescente per ogni $x \in [0,1]$?

[gbspeedy]

è giusto?