Massimi e minimi di funzioni a più variabili

[violetmari1]

Salve a tutti, dovendo a brevissimo sostenere una prova di Analisi Matematica II, e trovandomi un pò in difficoltà con gli esercizi del tipo scritto sopra, chiedo il vostro aiuto. Il mio problema nasce quando devo risolvere il sistema dopo aver posto il gradiente uguale a 0.. Questa è la funzione:

$f(x,y)=x+e^(x^2+y^2)$

Dopo aver calcolato le derivate parziali prime, risulta che (se ho fatto bene i conti..):

$f_x=1+2xe^(x^2+y^2)$
$f_y=2ye^(x^2+y^2)$

Quindi, ed è qui il problema, devo risolvere questo sistema:
${1+2xe^(x^2+y^2)=0,
2ye^(x^2+y^2)=0$

Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo.

[stormy1]

l'esponenziale non si annulla mai
quindi,il tuo sistema è equivalente al seguente
$ { ( y=0 ),( 1+2xe^(x^2+y^2)=0 ):} $

l'equazione $1+2xe^(x^2)=0$ si può risolvere approssimativamente per via grafica

[violetmari1]

Ok, anche fino a qui ci sono arrivata. Ammesso che io abbia fatto bene, dovrebbe risultare:

${y=0,
xe^(x^2)=-1/2$

E da qui sono ferma..

[stormy1]

guarda l'aggiunta che ho fatto mentre inserivi il tuo ultimo messaggio

[Camillo]

Dalla seconda equazione- la più semplice - ricavi l'unica soluzione $y=0 $ che inserita nella prima ti dà : $ 1+2xe^(x^2)=0$ .
Non mi sembra risolvibile analiticamente ma solo graficamente , in modo approssimato.
Conviene riscriverla come $e^(x^2) = -1/(2x) $
Prova e poi vediamo

[stormy1]

la funzione ammette un unico punto stazionario $P(alpha,0)$ con $-1 anche senza conoscere l'esatto valore di $alpha$,non ci sono problemi nel determinare la natura di $P$

[violetmari1]

"stormy":

l'equazione $1+2xe^(x^2)=0$ si può risolvere approssimativamente per via grafica

"Camillo":Dalla seconda equazione- la più semplice - ricavi l'unica soluzione $y=0 $ che inserita nella prima ti dà : $ 1+2xe^(x^2)=0$ .
Non mi sembra risolvibile analiticamente ma solo graficamente , in modo approssimato.
Conviene riscriverla come $e^(x^2) = -1/(2x) $
Prova e poi vediamo

Intendete separando le radici e applicando metodo di bisezioni o metodo delle secanti? Perchè se così fosse allora è inutile per me andare oltre al momento, poichè il mio professore di Analisi non ce li ha spiegati (ho qualche vago ricordo del liceo), e difficilmente potrebbe metterli nella prova.. Vi ringrazio molto in ogni caso

[stormy1]

quindi è molto probabile che si "accontentino" della risposta $P(alpha,0)$ con $-1

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[violetmari1]

"stormy":quindi è molto probabile che si "accontentino" della risposta $P(alpha,0)$ con $-1

Uhm, come ricavi alpha? Come fai a stabilire che è $-1

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[stormy1]

non è difficile disegnare rapidamente i grafici di $f(x)=e^(x^2)$ e $g(x)=-1/(2x)$ ed osservare che le due curve si intersecano un'unica volta nel 2° quadrante
inoltre,$g(-1)

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[violetmari1]

Grazie mille

[violetmari1]

Scusate ancora, oggi mi è sorto un altro dubbio. I punti di massimo e di minimo assoluto, vanno ricercati solo quando c'è la frontiera? Non mi è molto chiaro questo punto, poichè, anche spulciando in internet (oltre che sui miei appunti..) ho notato che questi vengono ricercati (e ci sono) solo quando l'esercizio prevede che la funzione sia definita ad es. in triangolo, cerchio o rettangolo o altro..

[stormy1]

sì,gli esercizi sulla ricerca del massimo e minimo assoluto si riferiscono in genere a funzioni continue definite in insiemi chiusi e limitati,perchè in quel caso è assicurata la loro esistenza dal teorema di Weierstrass

[violetmari1]

"stormy":sì,gli esercizi sulla ricerca del massimo e minimo assoluto si riferiscono in genere a funzioni continue definite in insiemi chiusi e limitati,perchè in quel caso è assicurata la loro esistenza dal teorema di Weierstrass

Grazie mille