Massimi e minimi di funzioni a due variabili
Ciao a tutti , ho un problema nel risolvere questo esercizio quando vado a trovare i punti stazionari mi escono delle equazioni che non riesco a risolvere per caso potresti mostrarmi come potrei fare?
[tex]f(x,y)=sin(x+y)+cos(x-y)[/tex]
Grazie mille.
[tex]f(x,y)=sin(x+y)+cos(x-y)[/tex]
Grazie mille.
Risposte
Ti posso suggerire come avviarlo, io inizierei così:
$(delf)/(delx)=cos(x+y)-sin(x-y)$ ; $(delf)/(dely)=cos(x+y)+sin(x-y)$
Considerando poi che $sin(\alpha+\pi/2)=cos(\alpha)$ e che $sin(-\alpha)=-sin(\alpha)$, imponendo l'annullarsi dei differenziali, puoi scrivere il sistema:
$\{(sin(x+y+\pi/2)=sin(x-y)),(sin(x+y+\pi/2)=sin(y-x)):}$
A questo punto risolvi il sistema, non è difficile, visto e considerato che entrambe le equazioni sono verificate singolarmente se gli argomenti dei seni a primo e secondo membro coincidono.
$(delf)/(delx)=cos(x+y)-sin(x-y)$ ; $(delf)/(dely)=cos(x+y)+sin(x-y)$
Considerando poi che $sin(\alpha+\pi/2)=cos(\alpha)$ e che $sin(-\alpha)=-sin(\alpha)$, imponendo l'annullarsi dei differenziali, puoi scrivere il sistema:
$\{(sin(x+y+\pi/2)=sin(x-y)),(sin(x+y+\pi/2)=sin(y-x)):}$
A questo punto risolvi il sistema, non è difficile, visto e considerato che entrambe le equazioni sono verificate singolarmente se gli argomenti dei seni a primo e secondo membro coincidono.
non ho capito come hai fatto a trasformare i coseni in coseni ad ad esempio [tex]cos(x+y)[/tex] come lo trasformi in seno ?
ora ho capito grazie mille ci provo
Ciao, anche io mi sto dedicando a questo esercizio seguendo le mie considerazioni. Vorrei poi confrontare i risultati con i vostri una volta che s904s abbia esaurito i suoi dubbi.
"Demostene92":
A questo punto risolvi il sistema, non è difficile, visto e considerato che entrambe le equazioni sono verificate singolarmente se gli argomenti dei seni a primo e secondo membro coincidono.
Non proprio: $[sinalpha=sinbeta] rarr [alpha=beta+2kpi] vv [alpha=pi-beta+2kpi]$
Sì, hai pienamente ragione.
Ciao , risolvendo il sistema mi esce 1 solo punto invece il libro porta 3 punti come mai?
Ciao a tutti, continuo a riflettere su questa funzione e a me sembra di intuire una superficie in cui si trovano periodicamente punti di massimo (quota +2) e punti di minimo (quota -2), una struttura tipo "duomi e bacini", come il cartone delle uove (quelli dove ce ne stanno tante!).
Immagino questa superficie come se in una bacinella d'acqua ci fossero due treni d'onda perpendicolari, il nostro grafico è il risultato della loro interferenza.
Se sono fuori strada avvisatemi!
Immagino questa superficie come se in una bacinella d'acqua ci fossero due treni d'onda perpendicolari, il nostro grafico è il risultato della loro interferenza.
Se sono fuori strada avvisatemi!
$\{((delf)/(delx)=0),((delf)/(dely)=0):} rarr \{(cos(x+y)-sin(x-y)=0),(cos(x+y)+sin(x-y)=0):} rarr \{(cos(x+y)=sin(x-y)),(cos(x+y)=sin(y-x)):} rarr$
$rarr [sin(x-y)=sin(y-x)] rarr [x-y=y-x+2kpi] vv [x-y=pi-y+x+2kpi] rarr [x-y=kpi]$
In definitiva, i punti critici stanno sulle infinite rette di equazione $[x-y=kpi]$. Inoltre, può essere interessante trasformare la funzione di partenza mediante le formule di prostaferesi:
$[f(x,y)=sin(x+y)+cos(x-y)] rarr [f(x,y)=sin(x+y)+sin(x-y+pi/2)] rarr$
$rarr [f(x,y)=2sin(x+pi/4)cos(y-pi/4)]$
In questo modo, la funzione di partenza è il prodotto di due funzioni di una sola variabile. Per esempio, quando:
$\{(x+pi/4=pi/2+2k_1pi),(y-pi/4=2k_2pi):} rarr \{(x=pi/4+2k_1pi),(y=pi/4+2k_2pi):}$
oppure:
$\{(x+pi/4=-pi/2+2k_1pi),(y-pi/4=pi+2k_2pi):} rarr \{(x=-3/4pi+2k_1pi),(y=5/4pi+2k_2pi):}$
si hanno sicuramente dei massimi assoluti di valore $[2]$. Viceversa, quando:
$\{(x+pi/4=pi/2+2k_1pi),(y-pi/4=pi+2k_2pi):} rarr \{(x=pi/4+2k_1pi),(y=5/4pi+2k_2pi):}$
oppure:
$\{(x+pi/4=-pi/2+2k_1pi),(y-pi/4=2k_2pi):} rarr \{(x=-3/4pi+2k_1pi),(y=pi/4+2k_2pi):}$
si hanno sicuramente dei minimi assoluti di valore $[-2]$.
$rarr [sin(x-y)=sin(y-x)] rarr [x-y=y-x+2kpi] vv [x-y=pi-y+x+2kpi] rarr [x-y=kpi]$
In definitiva, i punti critici stanno sulle infinite rette di equazione $[x-y=kpi]$. Inoltre, può essere interessante trasformare la funzione di partenza mediante le formule di prostaferesi:
$[f(x,y)=sin(x+y)+cos(x-y)] rarr [f(x,y)=sin(x+y)+sin(x-y+pi/2)] rarr$
$rarr [f(x,y)=2sin(x+pi/4)cos(y-pi/4)]$
In questo modo, la funzione di partenza è il prodotto di due funzioni di una sola variabile. Per esempio, quando:
$\{(x+pi/4=pi/2+2k_1pi),(y-pi/4=2k_2pi):} rarr \{(x=pi/4+2k_1pi),(y=pi/4+2k_2pi):}$
oppure:
$\{(x+pi/4=-pi/2+2k_1pi),(y-pi/4=pi+2k_2pi):} rarr \{(x=-3/4pi+2k_1pi),(y=5/4pi+2k_2pi):}$
si hanno sicuramente dei massimi assoluti di valore $[2]$. Viceversa, quando:
$\{(x+pi/4=pi/2+2k_1pi),(y-pi/4=pi+2k_2pi):} rarr \{(x=pi/4+2k_1pi),(y=5/4pi+2k_2pi):}$
oppure:
$\{(x+pi/4=-pi/2+2k_1pi),(y-pi/4=2k_2pi):} rarr \{(x=-3/4pi+2k_1pi),(y=pi/4+2k_2pi):}$
si hanno sicuramente dei minimi assoluti di valore $[-2]$.
grazie mille
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