Massimi e minimi di f. in piu' variabili
Vi chiedo di dare un'occhiata al seguente esercizio di ottimizzazione libera - sono sempre alla ricerca di tecniche migliori di quelle che conosco al momento.
Testo: determinare la natura dei punti stazionari di \[f(x,y) = \log{(3 + x^2y^3)}\] nel suo insieme di definizione.
Nel suo insieme di definizione, la funzione e' \(C^\infty(\mathbb{R})\) - il gradiente esiste.
Ricerca dei punti stazionari: \[\nabla{f}(x,y) = (\frac{2xy^3}{3 + x^2y^3}, \frac{3x^2y^2}{3 + x^2y^3}) = (0,0) \iff x = 0 \vee y = 0\]
Ora, passare per l'Hessiana mi sembra un casino. Idea: cammino sopra i punti stazionari in verticale e in orizzontale e vedo se restringendomi a questi due cammini la funzione presenta qualche estremante.
Muovendomi in verticale: \[\partial_{y}f \restriction_{(x_0, y)} = \frac{3{x_0}^2y^2}{3 + {x_0}^2y^3}\] che non cambia segno passando per i punti stazionari. Quindi i punti \((x_0, 0)\) non sono ne' massimi ne' minimi (selle).
Muovendomi in orizzontale ho: \[\partial_{x}f \restriction_{(x, y_0)} = \frac{2x{y_0}^3}{3 + x^2{y_0}^3}\] Per tutte le \(y_0\) positive, il segno della derivata e' lo stesso `della \(x\)` - quindi ho un fondovalle -; per \(y_0\) negative, avrei: \[\frac{2x{y_0}^3}{3 + x^2{y_0}^3} \ge 0 \iff \{ x{y_0} \ge 0 \wedge x^2 < -3/{y_0}^3 \} \vee \{ x{y_0} \le 0 \wedge x^2 > -3/{y_0}^3 \} \] Quindi la derivata cambia segno - da positiva a negativa - in intorni dello zero, se mi muovo in orizzontale.
Quindi: certamente ho che - a parte l'origine - tutti gli \((x_0, 0)\) sono selle; che gli \((0, y_0)\) sono minimi o massimi relativi a seconda del segno di \((y_0)\).
Ma dell'origine cosa posso dire?... Qualche hint?
Ringrazio!
Testo: determinare la natura dei punti stazionari di \[f(x,y) = \log{(3 + x^2y^3)}\] nel suo insieme di definizione.
Nel suo insieme di definizione, la funzione e' \(C^\infty(\mathbb{R})\) - il gradiente esiste.
Ricerca dei punti stazionari: \[\nabla{f}(x,y) = (\frac{2xy^3}{3 + x^2y^3}, \frac{3x^2y^2}{3 + x^2y^3}) = (0,0) \iff x = 0 \vee y = 0\]
Ora, passare per l'Hessiana mi sembra un casino. Idea: cammino sopra i punti stazionari in verticale e in orizzontale e vedo se restringendomi a questi due cammini la funzione presenta qualche estremante.
Muovendomi in verticale: \[\partial_{y}f \restriction_{(x_0, y)} = \frac{3{x_0}^2y^2}{3 + {x_0}^2y^3}\] che non cambia segno passando per i punti stazionari. Quindi i punti \((x_0, 0)\) non sono ne' massimi ne' minimi (selle).
Muovendomi in orizzontale ho: \[\partial_{x}f \restriction_{(x, y_0)} = \frac{2x{y_0}^3}{3 + x^2{y_0}^3}\] Per tutte le \(y_0\) positive, il segno della derivata e' lo stesso `della \(x\)` - quindi ho un fondovalle -; per \(y_0\) negative, avrei: \[\frac{2x{y_0}^3}{3 + x^2{y_0}^3} \ge 0 \iff \{ x{y_0} \ge 0 \wedge x^2 < -3/{y_0}^3 \} \vee \{ x{y_0} \le 0 \wedge x^2 > -3/{y_0}^3 \} \] Quindi la derivata cambia segno - da positiva a negativa - in intorni dello zero, se mi muovo in orizzontale.
Quindi: certamente ho che - a parte l'origine - tutti gli \((x_0, 0)\) sono selle; che gli \((0, y_0)\) sono minimi o massimi relativi a seconda del segno di \((y_0)\).
Ma dell'origine cosa posso dire?... Qualche hint?
Ringrazio!
Risposte
Io partirei dal fatto che il log è una funzione "buona" nel senso di strettamente monotona e iniettiva.
Quindi se
$g(x,y)=logf(x,y)$
segue che $\nabla g = 0 \hArr \nabla f=0$
Quindi io mi concentrerei su $x^2y^3$ per individuare maxs e mins.
Che non ci sono.
Perchè l'unica zona sospetta è la retta $x=0$, ma muovendoti trasversalmente alla $x=0$ hai un minimo se $y>0$ e viceversa.
Quindi c'è una sorta di flesso che interessa tutta la $x=0$.
Rimane da definire il bordo delineato da $x^2y^3 = -3$, presente solo se $y<0$.
Si tratta, basta un breve studio, di due false"iperboli" nei qudranti III e IV.
la frontiera non appartiene all'insieme della funzione e vicino alla frontiera la funzione "cade" a $-oo$.
Quindi esiste un minimo in $x=0, y>0$, un massimo in $x=0, y<0$. L'origine non è un estremo.
Quindi se
$g(x,y)=logf(x,y)$
segue che $\nabla g = 0 \hArr \nabla f=0$
Quindi io mi concentrerei su $x^2y^3$ per individuare maxs e mins.
Che non ci sono.
Perchè l'unica zona sospetta è la retta $x=0$, ma muovendoti trasversalmente alla $x=0$ hai un minimo se $y>0$ e viceversa.
Quindi c'è una sorta di flesso che interessa tutta la $x=0$.
Rimane da definire il bordo delineato da $x^2y^3 = -3$, presente solo se $y<0$.
Si tratta, basta un breve studio, di due false"iperboli" nei qudranti III e IV.
la frontiera non appartiene all'insieme della funzione e vicino alla frontiera la funzione "cade" a $-oo$.
Quindi esiste un minimo in $x=0, y>0$, un massimo in $x=0, y<0$. L'origine non è un estremo.
"Quinzio":
Io partirei dal fatto che il log è una funzione "buona" nel senso di strettamente monotona e iniettiva.
Quindi se $g(x,y)=logf(x,y)$ segue che $\nabla g = 0 \hArr \nabla f=0$
Non ci avevo pensato per niente. Mi viene difficile vedere -almeno parlando di funzioni di piu' variabili- il log come una funzione `buona`. Cos'e' la monotonia per \(x^2y^3 + 3\)?
"Quinzio":
Perchè l'unica zona sospetta è la retta $x=0$, ma muovendoti trasversalmente alla $x=0$ hai un minimo se $y>0$ e viceversa.
Perche' non dovrei sospettare anche di \(y = 0\)? Il gradiente si annulla in tutti quei punti e d'altronde qualche informazione la si trova dopotutto -sono punti di sella, no?
"Quinzio":
Quindi esiste un minimo in $x=0, y>0$, un massimo in $x=0, y<0$. L'origine non è un estremo.
Si, ma come faccio ad esserne sicuro? Prima e dopo l'origine sono d'accordo.
Un po' vorrei fidarmi ad occhio -se incrocio l'origine in `diagonale` prima salgo, poi salgo di nuovo -non ho ne' massimo ne' minimo- ...
Ti ringrazio intanto
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