Massimi e minimi con Lagrange

[forna-votailprof]

Ciao a tutti, ho un problema con un esercizio. Devo trovare i massimi e minimi della funzione di 2 variabili z(x,y)= -4x + 2y^2 con vincolo -x^2 + 2y^2 + 1 = 0. Se lo risolvo dal punto di vista grafico, trovo che ho un minimo per z=-5/4 e non esistono punti di massimo, mentre attraverso il metodo dei moltiplicatori di Lagrange ho 4 punti critici, due corrispondono giustamente al -5/4 sopracitato in cui iperbole e parabola del fascio sono tangenti, ma gli altri due punti (che sono corrispondenti alle parobole del fascio con vertice nei due vertici dei rami dell'iperbole) mi danno risultati controversi...infatti, col metodo di Lagrange non mi tornano i risultati del metodo grafico. Avete qualche suggerimento?!?! Grazie mille...ho rifatto i calcoli 4-5 volte, ma non riesco a trovare l'inghippo...

[mod="Tipper"]Titolo modificato (no titoli in maiuscolo).[/mod]

[forna-votailprof]

Nessuno mi riesce a dare una risposta?!?! Please

[Lord K]

Con i moltiplicatori di Lagrange si procede come segue:

Consideriamo la funzione:

$Gamma(x,y) = (-4x+2y^2) + lambda (-x^2+2y^2+1)$

Ed otteniamo poi

$(\delGamma)/(\delx) = -4-2lambdax = 0$
$(\delGamma)/(\dely) = 4y+4lambday = 0$

ed ovviamente:

$(\delGamma)/(\dellambda) = -x^2+2y^2+1 = 0$

dalla seconda e dalla prima $x=2$ e quindi poi nell'equazione del vincolo

$-4 + 2y^2+1=0 rightarrow y=+-sqrt(3/2)$

I punti da verificare sono dunque:

$P_1=(2, sqrt(3/2))$ e $P_2=(2, -sqrt(3/2))$

che sostituiti in $z$ ho che:

$z(P_1) = z(P_2) = -5$

Che sono punti di minimo.

[forna-votailprof]

Si ok..finlì c'ero arrivato...però tu dalla seconda equazione ricavi lambda = -1, ma in realtà c'è anke la soluzione Y=0 che annulla quell'equazione che corrisponde ai due punti critici in più che mi risultato, che tu invece non hai considerato...

[Lord K]

Vero, ma quello che tu devi fare è azzerare tutte le derivate parziali, se scelgo $y=0$ che cosa metto su $x$ per annullare la prima equazione? $y=0$ rende veritiera solo la $(delGamma)/(dely)=0$.

[forna-votailprof]

No, perchè poi ricavo la x dalla terza (sapendo y), e di conseguenza sapendo x ricavo il lambda che mi annulla la prima quindi poi tutte e tre le derivate parziali si annullano per Y=0, X=+1 o -1 e di conseguenza per lambda = -2 oppure + 2