Massimi e minimi con Hessiano nullo
Salve a tutti ho questo esercizio
Trovare gli eventuali punti di minimo e di massimo relativi della seguente funzione:
$f(x,y) = (x+1)^2(x+1-y)$.
Calcolandomi le derivate parziali e ponendole uguali a zero, trovo un punto critico $A(-1,0)$, in cui l'Hessiano si annulla.
Come procedo oltre?
A livello teorico so che se l'hessiano è nullo non posso dire nulla, bisogna studiare la funzione localmente.
Nel libro mi dice per esempio di sostituire a $y$ $mx$ considerando una generica retta passante per l'origine, ma come procedo oltre, sostituisco nella derivata prima il valore di $-1$ e vedo cosa succede? e quindi poi nella derivata seconda?
e se non c'è contraddizione deduco che è un punto di massimo o di minimo, o in alternativa di sella?
Grazie
Emanuele
Trovare gli eventuali punti di minimo e di massimo relativi della seguente funzione:
$f(x,y) = (x+1)^2(x+1-y)$.
Calcolandomi le derivate parziali e ponendole uguali a zero, trovo un punto critico $A(-1,0)$, in cui l'Hessiano si annulla.
Come procedo oltre?
A livello teorico so che se l'hessiano è nullo non posso dire nulla, bisogna studiare la funzione localmente.
Nel libro mi dice per esempio di sostituire a $y$ $mx$ considerando una generica retta passante per l'origine, ma come procedo oltre, sostituisco nella derivata prima il valore di $-1$ e vedo cosa succede? e quindi poi nella derivata seconda?
e se non c'è contraddizione deduco che è un punto di massimo o di minimo, o in alternativa di sella?
Grazie
Emanuele
Risposte
Visto che $f(-1,0) = 0$, ti basta studiare il segno della funzione (cosa facile) in un intorno di $(-1,0)$.
Se il segno cambia in ogni intorno di tale punto, è chiaro che il punto medesimo non è di estremo relativo.
Se il segno cambia in ogni intorno di tale punto, è chiaro che il punto medesimo non è di estremo relativo.
"emanuele78":
Salve a tutti ho questo esercizio
Trovare gli eventuali punti di minimo e di massimo relativi della seguente funzione:
$f(x,y) = (x+1)^2(x+1-y)$.
Calcolandomi le derivate parziali e ponendole uguali a zero, trovo un punto critico $A(-1,0)$, ...
Dici? Secondo me la soluzione di questo sistema $(x+1)[2(x+1-y)+(x+1)]=0,\ -(x+1)^2=0$ è $(-1,y),\ y\in\mathbb{R}$.
"Rigel":
Visto che $f(-1,0) = 0$, ti basta studiare il segno della funzione (cosa facile) in un intorno di $(-1,0)$.
Se il segno cambia in ogni intorno di tale punto, è chiaro che il punto medesimo non è di estremo relativo.
Per studiarmi il segno della funzione localmente credo che debba procedere con il limite che tende a $x_0=-1$ da sinistra e poi da destra e lo stesso dicasi per $y_0$?
"ciampax":
[quote="emanuele78"]Salve a tutti ho questo esercizio
Trovare gli eventuali punti di minimo e di massimo relativi della seguente funzione:
$f(x,y) = (x+1)^2(x+1-y)$.
Calcolandomi le derivate parziali e ponendole uguali a zero, trovo un punto critico $A(-1,0)$, ...
Dici? Secondo me la soluzione di questo sistema $(x+1)[2(x+1-y)+(x+1)]=0,\ -(x+1)^2=0$ è $(-1,y),\ y\in\mathbb{R}$.[/quote]
mi vengono le derivate parziali rispetto a $x$, $3x^2 +6x +3 -2xy -2y$, e rispetto a $y$, $-(x+1)^2$, ponendoli uguali a $0$ mi viene che $x=-1$ e $6-6 +2y-2y$, che effettivamente mi dice che sono difronte ad un insieme di punti critici.
In ogni caso viene Hessiano nullo.
Il problema è che mi sto confondendo non poco nella soluzione con Hessiano nullo, voglio capirlo bene ma non ci riesco.
Infatti nel libro mi si danno due metodi, uno di questi prevede che se l'hessiano è nullo, si considera la retta generica passante per l'origine, $y=mx$ si sostituisce nella funzione e si ha una funzione in una sola variabile $x$. A questo punto per capire cosa succede localmente mi verrebbe intuitivo sostituire al posto della $x$ il valore $-1$ e quindi proseguire nelle derivate per vedere se per certi valori di $m$ la funzione rimane dello stesso segno all'aumentare delle derivate, se è così avrei la prova che la funzione è di minimo(massimo), diversamente sarebbe di sella.
Il dubbio sta nel fatto che nel libro si considera il punto $(0,0)$ che nell'esempio citato dal libro è anche critico, ma è qui sta il mio problema si considera il punto $(0,0)$ in quanto critico o perchè il metodo prevede di utilizzare quel punto, nel caso mi sembrerebbe strano.
Ok, ecco come procedere: quello che devi fare è sì capire cosa succede quando ti restringi ad una retta generica, ma questa deve passare per il punto in cui vuoi studiare il comportamento. In questo caso abbiamo il generico punto $P(-1,p)$, con $p\in\mathbb{R}$. La retta generica per esso (il fascio di rette proprio) risulta $y-p=m(x+1)$ e pertanto, sostituendo all'interno della funzione si ha
$f(x,y)=g(x)=(x+1)^2(x+1-p-m(x+1))=(x+1)^2[(1-m)(x+1)-p]$
A questo punto basta studiare la funzione $g(x)$ al variare di $m$ e $p$ per capire come si comporta nel punto $x=-1$ (che è l'unico di cui ti interessa qualcosa). Osserva che
$g'(x)=2(x+1)[(1-m)(x+1)-p]+(1-m)(x+1)^2=3(1-m)(x+1)^2-2p(x+1)$ da cui $g'(-1)=0$
$g''(x)=6(1-m)(x+1)-2p$ da cui $g''(-1)=-2p$ che ovviamente risulta $>0,\ p<0$, $<0,\ p>0$, $=0,\ p=0$.
Cosa ne puoi concludere?
$f(x,y)=g(x)=(x+1)^2(x+1-p-m(x+1))=(x+1)^2[(1-m)(x+1)-p]$
A questo punto basta studiare la funzione $g(x)$ al variare di $m$ e $p$ per capire come si comporta nel punto $x=-1$ (che è l'unico di cui ti interessa qualcosa). Osserva che
$g'(x)=2(x+1)[(1-m)(x+1)-p]+(1-m)(x+1)^2=3(1-m)(x+1)^2-2p(x+1)$ da cui $g'(-1)=0$
$g''(x)=6(1-m)(x+1)-2p$ da cui $g''(-1)=-2p$ che ovviamente risulta $>0,\ p<0$, $<0,\ p>0$, $=0,\ p=0$.
Cosa ne puoi concludere?
"ciampax":
Ok, ecco come procedere: quello che devi fare è sì capire cosa succede quando ti restringi ad una retta generica, ma questa deve passare per il punto in cui vuoi studiare il comportamento. In questo caso abbiamo il generico punto $P(-1,p)$, con $p\in\mathbb{R}$. La retta generica per esso (il fascio di rette proprio) risulta $y-p=m(x+1)$ e pertanto, sostituendo all'interno della funzione si ha
$f(x,y)=g(x)=(x+1)^2(x+1-p-m(x+1))=(x+1)^2[(1-m)(x+1)-p]$
A questo punto basta studiare la funzione $g(x)$ al variare di $m$ e $p$ per capire come si comporta nel punto $x=-1$ (che è l'unico di cui ti interessa qualcosa). Osserva che
$g'(x)=2(x+1)[(1-m)(x+1)-p]+(1-m)(x+1)^2=3(1-m)(x+1)^2-2p(x+1)$ da cui $g'(-1)=0$
$g''(x)=6(1-m)(x+1)-2p$ da cui $g''(-1)=-2p$ che ovviamente risulta $>0,\ p<0$, $<0,\ p>0$, $=0,\ p=0$.
Cosa ne puoi concludere?
Finally, finalmente ho dato certezza alla mia intuizione è da ieri sera che cercavo un esempio con Hessiano nullo con punto diverso da $(0,0)$ che utilizza quel metodo. Ma può essere che quando fanno esempi li fanno sempre con esempi banali? Tra l'altro il tipo di metodo si prestava a facili confusioni, essendo che tutti considerano la retta passante per l'origine.
E quindi se ho capito bene devo considerare il fascio di rette passante per il punto critico che rende l'hessiano nullo
Detto questo
Cosa posso concludere, beh posso concludere che nell'intorno dei punti $A(-1,y)$ il segno della funzione cambia al variare di $p$ e pertanto non siamo in presenza di punti di massimo o minimo ma di sella.
Vorrei chiederti un'altra cosa, avrei potuto concentrarmi solo sul punto $(-1,0)$ e poi generalizzare che siamo difronte ad un insieme di punti di sella?.
"emanuele78":
Cosa posso concludere, beh posso concludere che nell'intorno dei punti $A(-1,y)$ il segno della funzione cambia al variare di $p$ e pertanto non siamo in presenza di punti di massimo o minimo ma di sella.
Sbagliato. Devi ragionare con $p$ fissato e $m$ variabile. Quello che hai è che per $p=0$ si ha sicuramente una sella (perché?). ma per $p>0,\ p<0$ non ti basta analizzare il comportamento delle prime due derivate...
"ciampax":
[quote="emanuele78"]
Cosa posso concludere, beh posso concludere che nell'intorno dei punti $A(-1,y)$ il segno della funzione cambia al variare di $p$ e pertanto non siamo in presenza di punti di massimo o minimo ma di sella.
Sbagliato. Devi ragionare con $p$ fissato e $m$ variabile. Quello che hai è che per $p=0$ si ha sicuramente una sella (perché?). ma per $p>0,\ p<0$ non ti basta analizzare il comportamento delle prime due derivate...[/quote]
Vediamo un pò, se $m$ diverso da $1$ si ha che $g''(-1)=-2p$ lo stesso si ha se $m=-1$, la derivata terza è $0$, quindi tutto dipende da $p$.
Ma non riesco a concludere, o meglio non essendoci una chiaro segno della funzione localmente, mi verrebbe di dire che comunque siamo in presenza di un punto di sella.
La derivata terza è $g(x)=6(1-m)$ e quindi il suo valore cambia al variare di $m$...
"ciampax":
La derivata terza è $g(x)=6(1-m)$ e quindi il suo valore cambia al variare di $m$...
scusami sto fuori.(di testa
)Allora se $m = 1$ abbiamo $0$ ,e nella derivata seconda avevamo che se $m=1$ oppure $m$ diverso da $1$ abbiamo $g''(-1) = -2p$ . localmente quindi il segno salta, o almeno io direi così e quindi per me sarebbe comunque di sella.
Ormai dubito di tutto.
"ciampax":
La derivata terza è $g(x)=6(1-m)$ e quindi il suo valore cambia al variare di $m$...
Stamane con mente più lucida ho ripreso questo esercizio. Riparto da qui.
Come giustamente osservato devo tenere conto di due parametri $m$ e $p$ e di due derivate la seconda e la terza perchè solo la seconda non basta al fine dello studio della funzione i due parametri possono assumere tre valori ciascuno per cui le possibilità da considerare sono numerose.
Supponiamo di fissare $p>0$$=>$ $g''(-1)= -2p<0$ e se $m>1$ $g'''(-1)=6(1-m)<0$ e quindi si avrebbe un punto di massimo per $x=-1$ fissato $p$. Invece risulta $g'''(-1) = 6(1-m)>0$ per $m<1$ sempre per $p>0$ e quindi siamo difronte ad un punto di minimo per $x=-1$ E quindi per diversi valori di $m$, fissato $p$ ottengo diversi segni della funzione.
A mio avviso basterebbe questo senza considerare tutte le altre combinazioni per concludere che l'insieme dei punti $A=(-1,y)$ non è un insieme di punti ne di massimo ne di minimo, sono punti di sella?
PS
Mi piacerebbe capire il metodo di Rigel, di cui ho trovato alcuni esempi su internet, ma la cui spiegazione non è mai esaustiva avete qualche link ad una parte teorica? Oppure risolviamo questo esercizio in quel modo, ma ho bisogno di qualche suggerimento quando mi consigliate di studiare la funzione nell'intorno del punto critico. Devo calcolarmi il limite per $x->-1(-)$ e $x->-1(+)$ fissato $y$ e vedere se cambia di segno?
I due metodi illustrati in questo thread sono intercambiambili oppure vanno applicati quando ho davanti un certo tipo di esercizio.
Ma può essere che appena l'Hessiano è nullo la ricerca dei minimi e dei massimi diventa peggio della teoria dei Gruppi? (Sfogo personale
)ah dimenticavo grazie a tutti.
"emanuele78":
[quote="Rigel"]Visto che $f(-1,0) = 0$, ti basta studiare il segno della funzione (cosa facile) in un intorno di $(-1,0)$.
Se il segno cambia in ogni intorno di tale punto, è chiaro che il punto medesimo non è di estremo relativo.
Per studiarmi il segno della funzione localmente credo che debba procedere con il limite che tende a $x_0=-1$ da sinistra e poi da destra e lo stesso dicasi per $y_0$?[/quote]
Questi esercizi non sono terribili e una volta capito il giochino si vede anche ad occhio come mostrare che non c'è un minimo/massimo.
L'obbiettivo è quindi far passare una retta per il punto incriminato, per cui la funzione di due variabili diventa funzione della sola x, perchè y dipende da x (secondo la retta che vado a definire).
Se riesco a far vedere nell'intorno del punto critico che la nuova funzione (della sola x) non fa un massimo/minimo, allora neanche la funzione della x, y può farlo.
Nota che il viceversa non funziona. Cioè se con questo metodo volessi dimostrare che esiste un min/max, dovrei mostrarlo per tutte le rette che passano per il punto (e non solo per le rette). La ragione rigorosa di questo mi sfugge, onestamente.
Tornando alla funzione, abbiamo $f(x,y)= (x^2+1)(x+1-y)$
Ora, ad esempio prendo $y = -x-1$, che passa per (-1,0), e vado a sostituire, ottengo $f(x)= (x^2+1)(2x+2)$. La sua derivata in $-1$ è 4, non si annulla, quindi niente minimo o massimo.
"emanuele78":
Mi piacerebbe capire il metodo di Rigel, di cui ho trovato alcuni esempi su internet, ma la cui spiegazione non è mai esaustiva avete qualche link ad una parte teorica? Oppure risolviamo questo esercizio in quel modo, ma ho bisogno di qualche suggerimento quando mi consigliate di studiare la funzione nell'intorno del punto critico. Devo calcolarmi il limite per $x->-1(-)$ e $x->-1(+)$ fissato $y$ e vedere se cambia di segno?
Il metodo è estremamente semplice.
Per definizione, un punto $(x_0,y_0)$ è di max (risp. min.) relativo per $f$ se e solo se l'incremento della funzione
\( g(x,y) := f(x,y) - f(x_0, y_0) \) è sempre $\le 0$ (risp. $\ge 0$) in un intorno del punto stesso.
Quindi ti basta studiare il segno di questo incremento; se esso cambia segno (assume cioè sia valori positivi che negativi) in ogni intorno del punto, significa che il punto in questione non è né di massimo né di minimo.
Nel caso della funzione \( f(x,y) = (x^2+1)(x+1-y) \) vedi immediatamente che \( f(x,y) > 0 \) nel semipiano aperto \( H^+ = \{(x,y)\in\mathbf{R}^2: y < x+1\} \), si annulla sulla retta \( y= x+1 \) ed è negativa nel restante semipiano aperto \( H^-\).
Di conseguenza, qualsiasi punto che stia sulla retta in questione non è né di massimo né di minimo, visto che un qualsiasi suo intorno interseca sia \( H^+ \) che \( H^- \), e dunque la funzione cambia segno.
Ragazzi, che dire ho capito tutti e tre i metodi che avete dato. Ma ho capito anche un'altra cosa, devo esercitarmi di più su questo tipo di esercizi.
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