Massimi e minimi con hessiano nullo

[Gianluk3]

Salve a tutti, ho svolto questo esercizio ma non mi trovo con le possibili risposte a scelta multipla che vengono proposte.
La funzione in esame è:

$f(x,y)= 3x^2y^2(x^2-y^2)+5$.
Per determinarne i punti critici ne ho innanzitutto trovato il gradiente:

$nabla(x,y)=((12x^3y^2-6xy^4),(6x^4y-12x^2y^3))$.

Ponendo $nabla = 0$, ottengo che l'unico punto critico è $(0,0)$.

Calcolando l'hessiana:

$H_(f)(x,y)=((36x^2y^2-6y^4, 24x^3y-24xy^3),(24x^3y-24xy^3,6x^4-36x^2y^2))$

e

$H_(f)(0,0)=0$.

Pertanto, per stabilire la natura di $(0,0)$, ho fatto il seguente procedimento:

Ho calcolato $f(x,y)-f(0,0)= 3x^2y^2(x^2-y^2)$ e successivamente controllato quando è $>0$.
Dato che $3x^2y^2$ è sempre $>0$, ho limitato lo studio a $(x^2-y^2)$, trovando che $f ={(>0,if x>y),(<0 ,if x Dato che cambia segno, ho concluso che (0,0) fosse un punto di sella, ma tra le possibili opzioni da scegliere non c'è. Cosa ho sbagliato nel procedimento?

Le possibili risposte sono:
1) la funzione f ha solo un punto di massimo locale
2) la funzione f ha infiniti punti di sella
3) la funzione f ha infiniti punti di massimo locale
4) la funzione f ha infiniti punti di minimo locale
5) la funzione f ha solo un punto di minimo locale

Grazie mille a tutti per la risposta.

[Mephlip]

Ciao! Sbagli a determinare i punti che annullano il gradiente (e anche a risolvere la disequazione $x^2-y^2>0$, ma non so quanto sarà rilevante visto che il problema va discusso di nuovo dagli zeri del gradiente in poi).

[Gianluk3]

"Mephlip":Ciao! Sbagli a determinare i punti che annullano il gradiente (e anche a risolvere la disequazione $x^2-y^2>0$, ma non so quanto sarà rilevante visto che il problema va discusso di nuovo dagli zeri del gradiente in poi).

Forse ho capito. Correggimi se sbaglio.
Ho questo sistema di equazioni:

$ {(xy^2(2x^2-y^2)=0),(x^2y(x^2-2y^2)=0):} $

Risolvendo, ho che una soluzione è $(0,0)$, ma anche $(x,x)$ è soluzione( viene considerando il caso $(x,y)!=(0,0)$). E' corretto?
Poi, per la disequazione, ho che $-x

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[Mephlip]

"Gianluk3":
Ho questo sistema di equazioni:
$ {(xy^2(2x^2-y^2)=0),(x^2y(x^2-2y^2)=0):} $
Risolvendo, ho che una soluzione è $(0,0)$, ma anche $(x,x)$ è soluzione( viene considerando il caso $(x,y)!=(0,0)$). E' corretto?

No, ma si vede anche ad occhio che non va bene: ad esempio, $(1,1)$ è soluzione?

"Gianluk3":
Poi, per la disequazione, ho che $-x

No, casomai $-|x|0$ (quindi la disuguaglianza è vera) ma non è mica vero che $-(-3)<1<-3.$

Come fai a studiare queste cose di analisi se non sai risolvere le disequazioni e i sistemi?

[Gianluk3]

Scusa ma allora sto in confusione, perché sto cercando di risolvere questo sistema e l'unica soluzione che mi viene è $(0,0)$, perchè se suppongo che $(x,y)!=0$, le due equazioni mi danno due soluzioni e se le vado a sostituire l'una nell'altra, non è verificata l'uguaglianza nell'equazione in cui ho fatto la sostituzione.
Scusa se sembro che non le sappia fare, ma le ho provate tutte tante volte prima di riscriverti per vedere se riuscivo a risolvere il problema da solo, purtroppo non riesco a capire dove mi perdo nei conti.

Ti faccio vedere i passaggi che ho fatto:

Io ho il sistema:
$ {(xy^2(2x^2-y^2)=0),(x^2y(x^2-2y^2)=0):} $.

Se vado a cercare altre soluzioni oltre a $(0,0)$, allora avrò che necessariamente:

$ {((2x^2-y^2)=0),((x^2-2y^2)=0):} $.
Se ricavassi dalla prima $y^2=2x^2$, nella seconda avrei $x^2=2(2x^2)$, che non mi sembra sia mai verificato. Per questo ho detto che l'unica soluzione fosse $(0,0)$. Ma dove sbaglio?
Spero possa darmi una dritta per capire meglio, grazie mille.

[Mephlip]

La dritta è: mi risolvi l'equazione $x(x-1)=0$?

[Gianluk3]

"Mephlip":La dritta è: mi risolvi l'equazione $x(x-1)=0$?

x=0 e x=1.
Ma da dove viene quest'equazione?

[Mephlip]

Magari "oppure" e non "e", che è importantissimo in questo contesto: stabilito che è oppure, perché dovrebbe essere diverso per $xy^2(2x^2-y^2)=0$? Devi studiare separatamente $x=0$ oppure $y^2=0$ oppure $2x^2-y^2=0$.
Non viene da nessuna parte, era un esempio tirato fuori dal cilindro per evidenziare che è una cosa che sai fare ma, non so perché, in più variabili ti confonde e non lo sai più fare.

[Gianluk3]

"Mephlip":Magari "oppure" e non "e", che è importantissimo in questo contesto: stabilito che è oppure, perché dovrebbe essere diverso per $xy^2(2x^2-y^2)=0$? Devi studiare separatamente $x=0$ oppure $y^2=0$ oppure $2x^2-y^2=0$.
Non viene da nessuna parte, era un esempio tirato fuori dal cilindro per evidenziare che è una cosa che sai fare ma, non so perché, in più variabili ti confonde e non lo sai più fare.

Si scusami, ho inteso la "e" per dire che vanno bene entrambe, ma ovviamente è "oppure".

Sisi, lo so che non è diverso in più variabili.
Lo so che devo studiarle separatamente, ma da $ 2x^2-y^2=0 $ trovo che $y^2=2x^2$, da $ x^2-2y^2=0 $ trovo che $x^2=2y^2$, ma sostituendo l'una nell'altra non arrivo a nulla e non capisco da dove tirar fuori le altre soluzioni di cui parli.

[Mephlip]

Ti sto perdendo così a parole: mi dovresti far vedere come stai sostituendo, scrivendo per bene tutti i conti, per capire se ha senso o no.

[Gianluk3]

"Mephlip":Ti sto perdendo così a parole: mi dovresti far vedere come stai sostituendo, scrivendo per bene tutti i conti, per capire se ha senso o no.

Da:

$ {(2x^2-y^2=0),(x^2-2y^2=0):} $

$ {(y^2=2x^2), (x^2=2y^2):} $
ottengo che $x^2=2(2x^2) => x^2=4x^2$, che non è mai verificato se non per $x=0$.

[Mephlip]

È giusto, cosa ti disturba di tutto ciò? Qual è la soluzione di quel sistema, quindi?

[Gianluk3]

"Mephlip":È giusto, cosa ti disturba di tutto ciò? Qual è la soluzione di quel sistema, quindi?

E' $x=0$.
Però tu all'inizio mi hai detto che avevo sbagliato a calcolare gli zeri del gradiente, quindi non riesco a capire da dove vengano le altre soluzioni di cui parlavi.

[Mephlip]

Beh, se pensi che la soluzione sia "$x=0$" certo che è sbagliata. Le equazioni, disequazioni, sistemi, ecc., sono problemi che innanzitutto si risolvono in un certo insieme. Qui stai in $\mathbb{R}^2$, quindi "$x=0$" come soluzione di un sistema non ha alcun senso.
Al più, come già discusso in altro luogo, hai un vincolo solo su $x$. Quindi, dal fatto che non hai nessun vincolo su $y$, essa può variare nel suo insieme corrispondente (ossia $\mathbb{R}$).
Quindi, da quel sistema, ottieni le infinite soluzioni $(0,y)$ con $y \in \mathbb{R}$ arbitrario.
Ma questo lo puoi vedere anche ad occhio: sostituisci $x=0$ in entrambe le equazioni del sistema e poi prova a sostituire a caso valori di $y$ reali in entrambe: quelli che vuoi, che siano interi positivi, interi negativi, frazioni, zero, persino $y=pi^{\sqrt{1127}e^{1/2}}$. Sono tutte $y$ che rendono vere quelle equazioni se $x=0$ e pertanto sono, per definizione, soluzioni del sistema.

Tra l'altro, è una cosa che se hai seguito un corso di algebra lineare dovresti sapere: quando un'equazione di un sistema è "superflua", significa che una variabile è libera e si scrive che il sistema ha $\infty^1$ soluzioni (che dipendono da un parametro arbitrario). Non so cosa studi, ma credo che il corso di algebra lineare sia presente praticamente in quasi ogni corso di laurea di stampo scientifico.

[Gianluk3]

"Mephlip":Beh, se pensi che la soluzione sia "$x=0$" certo che è sbagliata. Le equazioni, disequazioni, sistemi, ecc., sono problemi che innanzitutto si risolvono in un certo insieme. Qui stai in $\mathbb{R}^2$, quindi "$x=0$" come soluzione di un sistema non ha alcun senso.
Al più, come già discusso in altro luogo, hai un vincolo solo su $x$. Quindi, dal fatto che non hai nessun vincolo su $y$, essa può variare nel suo insieme corrispondente (ossia $\mathbb{R}$).
Quindi, da quel sistema, ottieni le infinite soluzioni $(0,y)$ con $y \in \mathbb{R}$ arbitrario.
Ma questo lo puoi vedere anche ad occhio: sostituisci $x=0$ in entrambe le equazioni del sistema e poi prova a sostituire a caso valori di $y$ reali in entrambe: quelli che vuoi, che siano interi positivi, interi negativi, frazioni, zero, persino $y=pi^{\sqrt{1127}e^{1/2}}$. Sono tutte $y$ che rendono vere quelle equazioni se $x=0$ e pertanto sono, per definizione, soluzioni del sistema.

Okk perfetto.
Quindi ora ho che i punti critici sono $(0,0)$ e $(0,y)$. Per trovare se sono massimi/minimi/sella, calcolo l'hessiana (in $(0,0)$ già l'avevo fatta) in $(0,y)$ e controllo come viene corretto? Cioè se viene (semi) definita positiva ecc giusto? Concludendo che dato che $y in RR$, potrò avere infiniti punti di quella natura dato che è un parametro libero esatto?

[Mephlip]

Il sistema di partenza non è concluso, hai ancora altre soluzioni. Comunque sì, quello che dici riguardo al procedimento seguente alla risoluzione del sistema e il fatto che le coppie sono infinite è corretto; comunque, il procedimento è standard e puoi leggerlo su qualsiasi libro di testo/appunti del corso (spero che tu abbia un libro di testo, altrimenti ti consiglio caldamente di procurartelo! Per queste cose è importantissimo, non può succedere che tu non sia sicuro dei procedimenti standard come questo. Quale ha consigliato il docente per il corso?).

[Gianluk3]

"Mephlip":Il sistema di partenza non è concluso, hai ancora altre soluzioni. Comunque sì, quello che dici riguardo al procedimento seguente alla risoluzione del sistema e il fatto che le coppie sono infinite è corretto; comunque, il procedimento è standard e puoi leggerlo su qualsiasi libro di testo/appunti del corso (spero che tu abbia un libro di testo, altrimenti ti consiglio caldamente di procurartelo! Per queste cose è importantissimo, non può succedere che tu non sia sicuro dei procedimenti standard come questo. Quale ha consigliato il docente per il corso?).

Ah ok non è finito. Però ora che ho capito, quando vado ad analizzare $y^2=0$, ho che $x in RR$ giusto? Quindi il caso $(0,0)$ è un particolare caso dei due analizzati, corretto?
Quindi i punti sarebbero $(0,y),(x,0), (0,0)$?

Per quanto riguarda il libro di testo, si chiama "Analisi Matematica", scritto da Bertsch, Dal Passo, Giacomelli non so se lo conosci, ma è usato, per quanto so, a ingegneria a roma. Su questa parte del parametro libero diciamo non spiega niente, e neanche il professore ha fatto un esercizio-tipo su cui potermi basare, ecco il perchè di molti miei dubbi. Sul libro non vi è neanche il caso di hessiano nullo, che ho cercato su internet e thread precedenti.

[Mephlip]

"Gianluk3":
Ah ok non è finito. Però ora che ho capito, quando vado ad analizzare $y^2=0$, ho che $x in RR$ giusto? Quindi il caso $(0,0)$ è un particolare caso dei due analizzati, corretto?
Quindi i punti sarebbero $(0,y),(x,0), (0,0)$?

Tutto corretto!

"Gianluk3":
Per quanto riguarda il libro di testo, si chiama "Analisi Matematica", scritto da Bertsch, Dal Passo, Giacomelli non so se lo conosci, ma è usato, per quanto so, a ingegneria a roma. Su questa parte del parametro libero diciamo non spiega niente, e neanche il professore ha fatto un esercizio-tipo su cui potermi basare, ecco il perchè di molti miei dubbi. Sul libro non vi è neanche il caso di hessiano nullo, che ho cercato su internet e thread precedenti.

Per l'hessiano nullo ci può stare, dipende molto dal testo: per quanto riguarda disequazioni e sistemi è una tua lacuna, in quanto, ad esempio, sui miei testi del liceo (Lamberti, Mereu, Nanni) c'è tutta questa parte riguardo ai sistemi lineari e alle soluzioni che dipendono da un numero arbitrario di parametri; inoltre, come già detto, sono cose che si rivedono nei corsi di algebra lineare. Comunque tutto può essere recuperato, ma va fatto per bene prima o poi: altrimenti, queste cose ti renderanno la vita accademica un inferno per quanto riguarda la matematica.

[Gianluk3]

"Mephlip":
Per l'hessiano nullo ci può stare, dipende molto dal testo: per quanto riguarda disequazioni e sistemi è una tua lacuna, in quanto, ad esempio, sui miei testi del liceo (Lamberti, Mereu, Nanni) c'è tutta questa parte riguardo ai sistemi lineari e alle soluzioni che dipendono da un numero arbitrario di parametri; inoltre, come già detto, sono cose che si rivedono nei corsi di algebra lineare. Comunque tutto può essere recuperato, ma va fatto per bene prima o poi: altrimenti, queste cose ti renderanno la vita accademica un inferno per quanto riguarda la matematica.

Lo so che sono un pò di lacune, però pensavo di cavarmela abbastanza bene , ora cercherò di dedicarmici di più.
Diciamo che il corso di algebra lineare che ho fatto non è stato granchè,infatti in corsi più avanzati ho avuto lacune in geometria proprio per questo motivo. Per il resto, non facendo proprio matematica, diciamo che molte cose non le vedo almeno nei corsi che ho fatto finora (faccio ingegneria).

[Gianluk3]

Grazie mille comunque per le molte dritte, aiuti e spiegazioni! Sto capendo molto bene le cose anche se non ho ancora molta dimestichezza a pensare in 2 variabili ahahah