Massimi e minimi con hessiano nullo

[lepre561]

$f(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2)$ nel punto $O(0,0)$ ho l'hessiano nullo dunque per determinare la natura del mio punto procederei in questo modo

Calcolo l'incremento $deltaf=f(x,y)-f(0,0)>0$

risulta dunque $(y-x^2)(y-2x^2)>0$

considero la restrizione sulla prima bisettrice

$f(x,x)=(x-x^2)(x-2x^2)=x^2(2x^2-3x+1)>0$

studiando il segno all'interno della parentesi si vedi facilemente che è $>0$ per $x<1uux>2$ mentre è $<0$ per $1
quindi siccome il segno non è costante trovo che il mio punto $O$ è un punto di sella


tutto questo ha un senso?

[lepre561]

e come potrei procedere?

[lepre561]

ma come si fa uno studio del segno in due variabili di quella determinata funzione...cioè non mi riesco a ricondurre ad un equazione in una variabile facendo raccoglimenti...qualche direttiva?

[lepre561]

allora lo saprei risolvere da un punto di vista grafico ma da un punto di vista analitico come si fa?

geometricamente risulta che all'interno delle due parabole è tutto positivo mentre all'esterno e tutto negativo

intersecando i due grafici dunque nell'intorno di $O$ avrò tutto positivo tranne che nelle zone comprese tra le due parabole
perche ad esempio anche nel terzo e quarto quadrante moltiplicando i segni negatvi vengono positivi...

[lepre561]

ma questa soluzione come l'hai ricavata?

[lepre561]

chiedo scusa ma il sistema da impostare è questo?

${\(y-x^2>0),(y-2x^2>0):}$

${\(y-x^2<0),(y-2x^2<0):}$

[lepre561]

ti posso chiedere come si risolve non graficamente...sono in seria difficoltà