Massimi e minimi con Hessiano

[Vienrose]

Avrei bisogno di una mano per ricercare i punti critici di questa funzione:


Ho calcolato le derivate e le ho annullate ma non riesco a procedere.
Grazie a chi mi aiuterà

[billyballo2123]

Non ho capito. Se riuscito a trovare in quali punti si annullano le derivate?

[Vienrose]

Si, sono (-1,0), (1,0) e (0,k). Non so come procedere dopo aver trovato i valori dell'hessiano

[billyballo2123]

Dopo aver scritto la matrice Hessiana, che è
\[
H_f(x,y)=
\begin{bmatrix}
4-12x^2-4y^2 & -8xy \\
-8xy & -4x^2
\end{bmatrix},
\]
ci sostituisci i punti che hai trovato. Ad esempio
\[
H_f(\pm 1,0)=
\begin{bmatrix}
-8 & 0 \\
0 & -4
\end{bmatrix}.
\]
Poi devi analizzare i punti $(0,k)$.

[Vienrose]

Si, ma in realtà ho dei dubbi proprio sullo svolgimento e sui punti ritrovati, quindi mi piacerebbe che qualcuno mi illustri il procedimento controllando quelli già fatti da me.

[billyballo2123]

Nel senso che non sei sicuro dei punti stazionari che hai trovato? Io ti posso dire che sono giusti! Se hai dei dubbi dì pure!!

[Dante.utopia]

A dire il vero, lo studio della matrice Hessiana non lo trovo indispensabile in questo casa. (Se non per i punti (0,k)).

Per prima cosa calcolerei il limite all'infinito: $lim_{x^2+y^2 \to \infty} f(x,y)=lim_{x^2+y^2 \to \infty}2 x^2-x^4-2x^2y^2, 2x^2-x^4 \leq lim_{x^2+y^2 \to \infty} x^2-x^4 = -\infty$

quindi \(\displaystyle \liminf_ {(x,y) \in \mathbb{R}^2} f(x,y)=-\infty \) per un qualche Weierstrass generalizzato non esiste minimo globale.

poi se valutiamo $f(\pm 1,0)=1$ e $f(0,k)=0$, quindi i primi due punti sono di massimo globale, resta da stabilire se (0,k) sono di minimo locale o di sella.