Massimi e minimi con f(x,y) in forma di integrale

[Netfrog]

Ciao a tutti, ho un esercizio sui massimi/minimi che (tra i tanti) non mi esce.

E' questo:

Sia \(\displaystyle f:A\rightarrow R \). A è un rettangolo [1/2,3]x[1,2].

\(\displaystyle f(x,y)=\int_{1}^{y}(\frac{e^{2xt}}{y}+x) dt \)

Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale è corretto sostituire al posto di t y nell'integranda?
Poi dato che la derivata rispetto a y di y è 1 e x non compare tra gli estremi ho che la derivata prima rispetto ad x e quella rispetto ad y coincidono e sono pari a:

\(\displaystyle f_{x}=f_{y}=\frac{e^{2xy}}{y}+x \)

ponendola uguale a 0 (gradiente nullo) non esistono punti in cui si annulla quindi i max/min sono sul bordo ?


Correggetemi se fin qui sto sbagliando, grazie

[ciampax]

In generale, se hai una funzione $f(x,y,t)$ dove $t$ è un parametro e scrivi la funzione integrale
$$F(x,y)=\int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y)} f(x,y,t)\ dt$$
allora per le derivate parziali, ad esempio quella rispetto ad $x$, si ha
$$F_x(x,y)=\int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y)} f_x(x,y,t)\ dt+\beta_x(x,y)\cdot f(x,y,(\beta(x,y))-\alpha_x(x,y)\cdot f(x,y,,\alpha(x,y))$$