Massimi e minimi assoulti in un triangolo
Il testo mi chiede di calcolare i massimi e i minimi assoluti della funzione \(\displaystyle f(x,y)=8/x+x/y+y \) nel triangolo di vertici:
\(\displaystyle P(1,1) P(4,1) P(4,4) \)
Calcolo prima le derivate parziali rispetto ad x ed y per vedere se ho punti critici.
\(\displaystyle fx(x,y)=-8/x^2+1/y \)
\(\displaystyle fy(x,y)=-x/y^2+1 \)
Metto a sistema e pongo uguale a zero come soluzione ho \(\displaystyle x=4,y=2 P(4,2)\)
Questo è un punto sulla frontiera, come lo valuto ? con l'hessiana? oppure sostituisco il punto nella funzione e valuto il valore che esso assume ?
Andando avanti faccio lo studio sui lati del triangolo:
L1 \(\displaystyle y=x ,f(x,x)=8/x+1+x \) calcolo la derivata prima, \(\displaystyle x^2=+- sqrt(8)\)
In sostanza scarto la radice negativa perchè è un punto fuori dal triangolo. e mi ritrovo come punto \(\displaystyle P(sqrt(8),sqrt(8) \)
Ho fatto lo stesso principio per gli altri due lati e i punti che ne risultano sono \(\displaystyle P(sqrt(8),1) P(4,2) \)
Poi ho valutato la funzione anche nei vertici, valutata la funzione in tutti questi punti ho visto il massimo e il minimo.
Vi chiedo se è un ragionamento corretto o quanto meno si può fare, oppure se ho sbagliato.
\(\displaystyle P(1,1) P(4,1) P(4,4) \)
Calcolo prima le derivate parziali rispetto ad x ed y per vedere se ho punti critici.
\(\displaystyle fx(x,y)=-8/x^2+1/y \)
\(\displaystyle fy(x,y)=-x/y^2+1 \)
Metto a sistema e pongo uguale a zero come soluzione ho \(\displaystyle x=4,y=2 P(4,2)\)
Questo è un punto sulla frontiera, come lo valuto ? con l'hessiana? oppure sostituisco il punto nella funzione e valuto il valore che esso assume ?
Andando avanti faccio lo studio sui lati del triangolo:
L1 \(\displaystyle y=x ,f(x,x)=8/x+1+x \) calcolo la derivata prima, \(\displaystyle x^2=+- sqrt(8)\)
In sostanza scarto la radice negativa perchè è un punto fuori dal triangolo. e mi ritrovo come punto \(\displaystyle P(sqrt(8),sqrt(8) \)
Ho fatto lo stesso principio per gli altri due lati e i punti che ne risultano sono \(\displaystyle P(sqrt(8),1) P(4,2) \)
Poi ho valutato la funzione anche nei vertici, valutata la funzione in tutti questi punti ho visto il massimo e il minimo.
Vi chiedo se è un ragionamento corretto o quanto meno si può fare, oppure se ho sbagliato.
Risposte
Non lo devi valutare quel punto con l'Hessiana.
Infatti i punti che annullano il gradiente possono essere massimo minimo o sella se tali punti sono all'interno del dominio, in questo caso all'interno del triangolo e non sulla frontiera.
Se dal sistema delle derivate parziali ti escono fuori dei punti della frontiera allora non li devi studiare.
In tal caso non ci sono punti critici all'interno del triangolo perché l'unico punto che trovi sta sulla frontiera.
Allora ti rimane da studiare come si comporta la funzione sulla frontiera, la quale andrà studiata parametrizzandola e studiando, quindi, una funzione in una variabile.
Ad esempio il lato parallelo all'asse x andrà parametrizzato così:
e dovrai studiare la monotonia della funzione
Fai lo studio della monotonia in una variabile anche delle delle funzioni seguenti (che parametrizzano gli altri due lati del triangolo):
Mettendo insieme le monotonie potrai valutare chi sono candidati massimi, chi i candidati minimi (chi nessuno dei due) per la funzione in due variabili $f(x,y)$. Ricordati che un max o minimo sulla frontiera non è detto che sia un max o minimo di tutta la funzione in due variabili. La maggior parte delle volte si chiedono solamente i max e min assoluti e in tal caso basta confrontare le quote di ogni candidato max per il max assoluto (si prende la più alta) di $f$ e le quote tra i candidati minimi per determinare il minimo assoluto (si prende la più bassa). Tali max e min assoluti esistono nel triangolo per Weierstrass.
Se chiedesse i max e min relativi allora bisogna fare ragionamenti più fini e stabilire se in un intorno del punto considerato, facciamo finta un candidato punto di max $(x_0, y_0)$, esista un intorno $I$ del dominio in cui valga la relazione \( f(x_0,y_0)\geq f(x,y)\quad\forall (x,y)\in I \) ( \( f(x_0,y_0)\leq f(x,y)\forall (x,y)\in I \) nel caso di un candidato punto di minimo \( (x_0,y_0) \) ).
Infatti i punti che annullano il gradiente possono essere massimo minimo o sella se tali punti sono all'interno del dominio, in questo caso all'interno del triangolo e non sulla frontiera.
Se dal sistema delle derivate parziali ti escono fuori dei punti della frontiera allora non li devi studiare.
In tal caso non ci sono punti critici all'interno del triangolo perché l'unico punto che trovi sta sulla frontiera.
Allora ti rimane da studiare come si comporta la funzione sulla frontiera, la quale andrà studiata parametrizzandola e studiando, quindi, una funzione in una variabile.
Ad esempio il lato parallelo all'asse x andrà parametrizzato così:
\( \begin{cases} x=t \\ y=1 \end{cases}\quad t\in[1,3] \)
e dovrai studiare la monotonia della funzione
\( g_{1}(t)=f(t,1)=\frac{8}{t}+t+1=\frac{t^2+t+8}{t^2} \).
Fai lo studio della monotonia in una variabile anche delle delle funzioni seguenti (che parametrizzano gli altri due lati del triangolo):
\( g_{2}(t)=f(t,t)\text{ con }t\in [1,3]\\ g_{3}(t)=f(4,t)\text{ con }t\in [1,4] \)
Mettendo insieme le monotonie potrai valutare chi sono candidati massimi, chi i candidati minimi (chi nessuno dei due) per la funzione in due variabili $f(x,y)$. Ricordati che un max o minimo sulla frontiera non è detto che sia un max o minimo di tutta la funzione in due variabili. La maggior parte delle volte si chiedono solamente i max e min assoluti e in tal caso basta confrontare le quote di ogni candidato max per il max assoluto (si prende la più alta) di $f$ e le quote tra i candidati minimi per determinare il minimo assoluto (si prende la più bassa). Tali max e min assoluti esistono nel triangolo per Weierstrass.
Se chiedesse i max e min relativi allora bisogna fare ragionamenti più fini e stabilire se in un intorno del punto considerato, facciamo finta un candidato punto di max $(x_0, y_0)$, esista un intorno $I$ del dominio in cui valga la relazione \( f(x_0,y_0)\geq f(x,y)\quad\forall (x,y)\in I \) ( \( f(x_0,y_0)\leq f(x,y)\forall (x,y)\in I \) nel caso di un candidato punto di minimo \( (x_0,y_0) \) ).
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