Massimi e minimi assoluti vincolati
Salve a tutti,
Ho un dubbio su i massimi e i minimi assoluti vincolati; Ho capito come trovare i punti con vincoli del tipo $ K=[x^2+y^2<1] $
, cioè mi ricavo una variabile dal vincolo e la sostituisco nella mia f(x,y) con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange; Ma il mio esercizio mi dice: dato $ f(x,y)=(y-x^2)(y-x^2-1) $ con $ K=[x^2
Ho un dubbio su i massimi e i minimi assoluti vincolati; Ho capito come trovare i punti con vincoli del tipo $ K=[x^2+y^2<1] $
, cioè mi ricavo una variabile dal vincolo e la sostituisco nella mia f(x,y) con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange; Ma il mio esercizio mi dice: dato $ f(x,y)=(y-x^2)(y-x^2-1) $ con $ K=[x^2
Risposte
[xdom="gugo82"]Ho cancellato una battuta palesemente idiota.
Mi auguro di non dover più leggere simili fetenzie.[/xdom]
Mi auguro di non dover più leggere simili fetenzie.[/xdom]
Cosa c'entra scusa? non ti seguo...a me pare ovvio! 
"albertobosia":
[OT]spero che tu il tuo nome sia francesca[/OT]
Io speravo in un forum serio..la tua "battuta", se così si può chiamare, l'ho capita solo adesso...Sono venuta per una domanda di analisi ma mi sento rispondere solo idiozie..anzichè scrivere quella baggianata non potevi rispondere alla mia domanda? (lo so che può sembrare banale, e che tu ci possa perdere un quarto di nobiltà a rispondermi, ma ad architettura a Firenze certe cose non vengono molto puntualizzate..Sono un idiota perché non lo capisco da sola? e allora a cosa serve questo benedetto forum??)
cordialmente FRANCESCA
No Francesca, il problema è che "la mamma dei cretini è sempre incinta!" [cit. G.Marx]
Il forum è serio e, se mi permetti, ti spiego come puoi procedere: per prima cosa in questi casi è sempre utile capire come è fatto il dominio (vincolo) su cui devi lavorare. In questo caso il vincolo è rappresentato dalla porzione di piano interna alle due parabole di equazione $y=x^2,\ y=x^2+1$ con la condizione che $y<2$. Dal momento che non ci sono uguaglianze, questo implica che dovrai ricercare eventuali massimi e minimi solo all'interno del dominio stesso e per fare questo, basta procedere con il "classico" metodo del calcolo del gradiente e dell'Hessiano, facendo attenzione, però, che i punti che vai a studiare siano all'interno del dominio $K$ (ad esempio, se tu trovassi il punto $A(0,3)$, avendo questo $y=3>2$ va escluso). Spero di essere stato chiaro e se hai altri problemi non esitare a chiedere.
Il forum è serio e, se mi permetti, ti spiego come puoi procedere: per prima cosa in questi casi è sempre utile capire come è fatto il dominio (vincolo) su cui devi lavorare. In questo caso il vincolo è rappresentato dalla porzione di piano interna alle due parabole di equazione $y=x^2,\ y=x^2+1$ con la condizione che $y<2$. Dal momento che non ci sono uguaglianze, questo implica che dovrai ricercare eventuali massimi e minimi solo all'interno del dominio stesso e per fare questo, basta procedere con il "classico" metodo del calcolo del gradiente e dell'Hessiano, facendo attenzione, però, che i punti che vai a studiare siano all'interno del dominio $K$ (ad esempio, se tu trovassi il punto $A(0,3)$, avendo questo $y=3>2$ va escluso). Spero di essere stato chiaro e se hai altri problemi non esitare a chiedere.
oppure puoi parametrizzare la figura 
"ciampax":
No Francesca, il problema è che "la mamma dei cretini è sempre incinta!" [cit. G.Marx]
Il forum è serio e, se mi permetti, ti spiego come puoi procedere: per prima cosa in questi casi è sempre utile capire come è fatto il dominio (vincolo) su cui devi lavorare. In questo caso il vincolo è rappresentato dalla porzione di piano interna alle due parabole di equazione $y=x^2,\ y=x^2+1$ con la condizione che $y<2$. Dal momento che non ci sono uguaglianze, questo implica che dovrai ricercare eventuali massimi e minimi solo all'interno del dominio stesso e per fare questo, basta procedere con il "classico" metodo del calcolo del gradiente e dell'Hessiano, facendo attenzione, però, che i punti che vai a studiare siano all'interno del dominio $K$ (ad esempio, se tu trovassi il punto $A(0,3)$, avendo questo $y=3>2$ va escluso). Spero di essere stato chiaro e se hai altri problemi non esitare a chiedere.
Oddio che stupida sono! Era banale come credevo...solo che abituata a un tipo di esercizio, a vederne un altro sono andata nel panico!trovavo le due parabole e senza uguaglianze non capivo come procedere! Grazie davvero e scusate per la sfuriata
non so cosa abbiate capito, ma certamente sono stato frainteso.
so che "checca" è un abbreviativo di francesca, in alcune zone d'italia. sfortunatamente, dalle mie parti è solo un termine piuttosto offensivo per indicare i ragazzi gay e/o dagli atteggiamenti femminei.
ricordando il punto 2.1 del regolamento
inoltre, non ti eri presentata. che ne sapevo io di come ti chiamavi?
non voleva nemmeno essere una battuta. in ogni caso, visto che ti chiami francesca, porgo le mie scuse: non era mia intenzione offenderti.
so che "checca" è un abbreviativo di francesca, in alcune zone d'italia. sfortunatamente, dalle mie parti è solo un termine piuttosto offensivo per indicare i ragazzi gay e/o dagli atteggiamenti femminei.
ricordando il punto 2.1 del regolamento
2.1 Il nickname da scegliere non può essere offensivo, volgare, diffamatorio, promozionale, né può essere un marchio coperto da copyright (google, coca cola, microsoft, ...)
inoltre, non ti eri presentata. che ne sapevo io di come ti chiamavi?
non voleva nemmeno essere una battuta. in ogni caso, visto che ti chiami francesca, porgo le mie scuse: non era mia intenzione offenderti.
Ciao! Non mi sono offesa per il "checca", scusami se ho esagerato! ero solo nervosa perchè domani ho lo scritto, e quella tipologia di esercizio era l'unica che non capivo! mi ha dato solo noia il fatto che hai "sprecato" tempo per scrivere quella "battuta" quando potevi almeno rispondere alla domanda!
"checca91":
[quote="ciampax"]No Francesca, il problema è che "la mamma dei cretini è sempre incinta!" [cit. G.Marx]
Il forum è serio e, se mi permetti, ti spiego come puoi procedere: per prima cosa in questi casi è sempre utile capire come è fatto il dominio (vincolo) su cui devi lavorare. In questo caso il vincolo è rappresentato dalla porzione di piano interna alle due parabole di equazione $y=x^2,\ y=x^2+1$ con la condizione che $y<2$. Dal momento che non ci sono uguaglianze, questo implica che dovrai ricercare eventuali massimi e minimi solo all'interno del dominio stesso e per fare questo, basta procedere con il "classico" metodo del calcolo del gradiente e dell'Hessiano, facendo attenzione, però, che i punti che vai a studiare siano all'interno del dominio $K$ (ad esempio, se tu trovassi il punto $A(0,3)$, avendo questo $y=3>2$ va escluso). Spero di essere stato chiaro e se hai altri problemi non esitare a chiedere.
Oddio che stupida sono! Era banale come credevo...solo che abituata a un tipo di esercizio, a vederne un altro sono andata nel panico!trovavo le due parabole e senza uguaglianze non capivo come procedere! Grazie davvero e scusate per la sfuriata
[/quote]Prego. In ogni caso, giusto per completezza, se ci fossero state le uguaglianze la cosa migliore sarebbe stata quella di "suddividere" il bordo del dominio in 4 parti (in questo caso) scegliendo adeguatamente una parametrizzazione rispetto alla variabile $x$ con la relativa scelta degli intervalli di variabilità della stessa e ragionando sull'andamento della funzione ristretta ai valori di tale curva: ad esempio sulla parabola "inferiore" $y=x^2$ puoi scegliere la parametrizzazione $x=t,\ y=t^2$ con $t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ (trovi tale intervallo intersecando la parabola con la retta $y=2$) e sostituendo tali forme di $x,\ y$ nella funzione così da ottenere la funzione, in una variabile, $F(t)=(t^2-t^2)(t^2-t^2-1)=0$ (in questo caso, viene qualcosa di "banale", ma era giusto per illustrare il procedimento).
Ieri ho fatto l'esame! è andato abbastanza bene..l'unico esercizio su cui sono caduta è stato proprio uno sui limiti! 
La funzione era $ x^4-2x^2y+2y^2 $ e il vincolo $ D=[-1
La funzione era $ x^4-2x^2y+2y^2 $ e il vincolo $ D=[-1
L'unico punto da considerare è $(0,0)$ (le rette che delimitano $D$ non sono incluse, non vedo segni di uguaglianza, e pertanto non vanno considerate). In questi casi, per capire che tipo di punto hai, quello che puoi fare è analizzare il comportamento in un intorno di esso che, ovviamente, sia incluso nel dominio. Qui, ad esempio, puoi osservare che
$f(x,y)=x^4-2x^2 y+2y^2=(x^4-2x^2 y+y^2)+y^2=(x^2-y)^2+y^2$
pertanto, in qualsiasi modo tu ti avvicini al punto $(0,0)$ la funzione risulta sempre positiva e si annulla solo in esso: questo vuol dire che per qualsiasi $(x,y)\in B_r((0,0))$ (la palla di centro lporigine e raggio $r$) si ha $f(x,y)>0=f(0,0)$ e quindi tale punto è un minimo assoluto (la funzione è sempre positiva).
$f(x,y)=x^4-2x^2 y+2y^2=(x^4-2x^2 y+y^2)+y^2=(x^2-y)^2+y^2$
pertanto, in qualsiasi modo tu ti avvicini al punto $(0,0)$ la funzione risulta sempre positiva e si annulla solo in esso: questo vuol dire che per qualsiasi $(x,y)\in B_r((0,0))$ (la palla di centro lporigine e raggio $r$) si ha $f(x,y)>0=f(0,0)$ e quindi tale punto è un minimo assoluto (la funzione è sempre positiva).
Ho sbagliato a scrivere...in $ D $ i segni sono tutti minori uguali..
Bene, allora il discorso che ho fatto prima resta valido. Ora però dobbiamo verificare cosa accade sul bordo. Esso è formato da tre segmenti di retta che possimao parametrizzare così:
$\gamma_1(t)=(t,1),\ t\in[-1,1]$ (la base del triangolo)
$\gamma_2(t)=(t,t),\ t\in[0,1]$ (il lato nel primo quadrante)
$\gamma_3(t)=(-t,t),\ t\in[0,1]$ (il lato nel secondo quadrante)
Su questi tre segmenti la funzione diventa, rispettivamente
$f_1(t)=t^4-2t^2+2,\qquad f_2(t)=t^4-2t^3+2t^2,\qquad f_3(t)=t^4-2t^3+2t^2$
le cui derivate sono
$f_1'(t)=4t^3-4t=4t(t^2-1)$
$f_2'(t)=4t^3-6t^2+4t=2t(2t^2-3t+2)$
$f_3(t)=4t^3+6t^2+4t=2t(2t^2-3t+2)$
Analizzando il loro segno sugli intervalli di definizione rispettivi si trova che
$f_1(t)$ ha un minimo nel punto $t=\pm 1$ che corrisponde al punto $(\pm 1,1)$ della curva $\gamma_1$ e al valore $f(\pm 1,1)=1$ e un massimo nel punto $t=0$ che corrisponde al punto $(0,1)$ della curva $\gamma_1$ e al valore $f(1,1)=2$
$f_2(t)$ e $f_3(t) risultano, invece, sempre crescenti e, di conseguenza, hanno un minimo per $t=0$ che, in entrambi i casi, corrisponde al punto $(0,0)$ e quindi al valore $f(0,0)=0$ e un massimo nei punti $(1,1)$ e $(-1,1)$ (per $t=1$ rispettivamente) che corrisponde al valore $f(\pm 1,1)=1$.
Considerando nel complesso, si ricava che la funzione ammette minimo (assoluto) in $(0,0)$ e massimo (assoluto sul vincolo) nel punto $(0,1)$.
$\gamma_1(t)=(t,1),\ t\in[-1,1]$ (la base del triangolo)
$\gamma_2(t)=(t,t),\ t\in[0,1]$ (il lato nel primo quadrante)
$\gamma_3(t)=(-t,t),\ t\in[0,1]$ (il lato nel secondo quadrante)
Su questi tre segmenti la funzione diventa, rispettivamente
$f_1(t)=t^4-2t^2+2,\qquad f_2(t)=t^4-2t^3+2t^2,\qquad f_3(t)=t^4-2t^3+2t^2$
le cui derivate sono
$f_1'(t)=4t^3-4t=4t(t^2-1)$
$f_2'(t)=4t^3-6t^2+4t=2t(2t^2-3t+2)$
$f_3(t)=4t^3+6t^2+4t=2t(2t^2-3t+2)$
Analizzando il loro segno sugli intervalli di definizione rispettivi si trova che
$f_1(t)$ ha un minimo nel punto $t=\pm 1$ che corrisponde al punto $(\pm 1,1)$ della curva $\gamma_1$ e al valore $f(\pm 1,1)=1$ e un massimo nel punto $t=0$ che corrisponde al punto $(0,1)$ della curva $\gamma_1$ e al valore $f(1,1)=2$
$f_2(t)$ e $f_3(t) risultano, invece, sempre crescenti e, di conseguenza, hanno un minimo per $t=0$ che, in entrambi i casi, corrisponde al punto $(0,0)$ e quindi al valore $f(0,0)=0$ e un massimo nei punti $(1,1)$ e $(-1,1)$ (per $t=1$ rispettivamente) che corrisponde al valore $f(\pm 1,1)=1$.
Considerando nel complesso, si ricava che la funzione ammette minimo (assoluto) in $(0,0)$ e massimo (assoluto sul vincolo) nel punto $(0,1)$.
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