Massimi e minimi assoluti vincolati
Ciao a tutti,
sono di nuovo a chiedere aiuto con un esercizio sui massimi e minimi.
La funzione è $f(x,y)=x^2+y^2$ e il vincolo è $(x,y): x^4+y^4\ler^4$ $r$ parametro definito positivo.
Ho ragionato così:
Cerco i punti stazionari interni al vincolo, ovvero in \(\overset{o}A =\{(x,y) \in R^2 : x^4+y^4 < r^4\}\) e trovo
$ { ( 2x=0 ),( 2y=0 ):} $ ovvero $(0,0)$ è un punto stazionario in \(\overset{o}A\)
Usando la matrice Hessiana vedo che tale punto è di minimo locale e in tale punto la funzione vale $0$.
Adesso cerco gli estremanti sulla frontiera, ovvero in \( \partial A = \{ (x,y) \in R^2 : x^4+y^4=r^4 \}\)
Uso il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Risolvo il sistema (e quì mi incarto)
$ { ( 2x+4\lambdax^3=0 ),( 2y+4\lambday^3=0 ),( x^4+y^4=r^4 ):} rArr
{ ( 2x(1+2\lamdax^2)=0 ),(2y(1+2\lambday^2)=0 ),( x^4+y^4=r^4 ):} $
Dalla prima ricavo $x=0$ o $\lambda=-\frac{1}{2x^2}$
Dalla prima ricavo $y=0$ o $\lambda=-\frac{1}{2y^2}$
Sostituendo $x=0$ nella terza ottengo $y^4=r^4 rArr y=+-r$
Sostituendo $y=0$ nella terza ottengo $x^4=r^4 rArr x=+-r$
e quindi ottengo i punti $A(0,r)$, $B(0,-r)$, $C(r,0)$, $D(-r,0)$
$f(A)=f(B)=f(C)=f(D)=r^2$
La soluzione sul libro però riporta anche i punti \( (\frac{r}{\sqrt[4]{2}},\pm\frac{r}{\sqrt[4]{2}}) \) e \( (\frac{-r}{\sqrt[4]{2}},\pm\frac{r}{\sqrt[4]{2}}) \) che non mi riesce ricavare dal sistema.
Grazie mille a tutti
sono di nuovo a chiedere aiuto con un esercizio sui massimi e minimi.
La funzione è $f(x,y)=x^2+y^2$ e il vincolo è $(x,y): x^4+y^4\ler^4$ $r$ parametro definito positivo.
Ho ragionato così:
Cerco i punti stazionari interni al vincolo, ovvero in \(\overset{o}A =\{(x,y) \in R^2 : x^4+y^4 < r^4\}\) e trovo
$ { ( 2x=0 ),( 2y=0 ):} $ ovvero $(0,0)$ è un punto stazionario in \(\overset{o}A\)
Usando la matrice Hessiana vedo che tale punto è di minimo locale e in tale punto la funzione vale $0$.
Adesso cerco gli estremanti sulla frontiera, ovvero in \( \partial A = \{ (x,y) \in R^2 : x^4+y^4=r^4 \}\)
Uso il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Risolvo il sistema (e quì mi incarto)
$ { ( 2x+4\lambdax^3=0 ),( 2y+4\lambday^3=0 ),( x^4+y^4=r^4 ):} rArr
{ ( 2x(1+2\lamdax^2)=0 ),(2y(1+2\lambday^2)=0 ),( x^4+y^4=r^4 ):} $
Dalla prima ricavo $x=0$ o $\lambda=-\frac{1}{2x^2}$
Dalla prima ricavo $y=0$ o $\lambda=-\frac{1}{2y^2}$
Sostituendo $x=0$ nella terza ottengo $y^4=r^4 rArr y=+-r$
Sostituendo $y=0$ nella terza ottengo $x^4=r^4 rArr x=+-r$
e quindi ottengo i punti $A(0,r)$, $B(0,-r)$, $C(r,0)$, $D(-r,0)$
$f(A)=f(B)=f(C)=f(D)=r^2$
La soluzione sul libro però riporta anche i punti \( (\frac{r}{\sqrt[4]{2}},\pm\frac{r}{\sqrt[4]{2}}) \) e \( (\frac{-r}{\sqrt[4]{2}},\pm\frac{r}{\sqrt[4]{2}}) \) che non mi riesce ricavare dal sistema.
Grazie mille a tutti
Risposte
Sul fatto che $(x, y)=(0,0)$ sia un minimo locale: davvero ti serve fare tutti quei conti? Immagina il grafico di $x^2+y^2$. E' ovvio che l'origine è il minimo assoluto.
Sul sistema di equazioni: ti manca da considerare il caso in cui sia $x$ sia $y$ sono non nulli. In quel caso hai ancora l'equazione
\[
-\frac{1}{2x^2}=\lambda=-\frac{1}{2y^2}.\]
Sul sistema di equazioni: ti manca da considerare il caso in cui sia $x$ sia $y$ sono non nulli. In quel caso hai ancora l'equazione
\[
-\frac{1}{2x^2}=\lambda=-\frac{1}{2y^2}.\]
"dissonance":
Sul fatto che $(x, y)=(0,0)$ sia un minimo locale: davvero ti serve fare tutti quei conti? Immagina il grafico di $x^2+y^2$. E' ovvio che l'origine è il minimo assoluto.
Sul sistema di equazioni: ti manca da considerare il caso in cui sia $x$ sia $y$ sono non nulli. In quel caso hai ancora l'equazione
\[
-\frac{1}{2x^2}=\lambda=-\frac{1}{2y^2}.\]
E' li che mi incarto. Come vado avanti. Dove lo sostituisco quel lambda?
Da nessuna parte. Da lì ricavi una equazione in $x$ e $y$. E poi hai ancora il vincolo $x^4+y^4=r^2$. Due equazioni in due incognite.
non capisco
Secondo me non stai ragionando. Probabilmente sei nervoso perché sotto esame.
Purtroppo non è che ci siano molti altri suggerimenti da dare: dalla cosa che ho scritto prima si ricava che $x^2=y^2$. Questa, insieme all'equazione del vincolo, dà due equazioni in due incognite e ti trovi tutti i punti critici che rimangono.
Purtroppo non è che ci siano molti altri suggerimenti da dare: dalla cosa che ho scritto prima si ricava che $x^2=y^2$. Questa, insieme all'equazione del vincolo, dà due equazioni in due incognite e ti trovi tutti i punti critici che rimangono.
Ho rifatto i calcoli. Devo dire che mi vergogno quasi..
Grazie per l'aiuto.
Grazie per l'aiuto.
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