Massimi e minimi assoluti in funzione a due variabili

[Gooose1991]

Salve a tutti, ho appena finito lo studio dei massimi e minimi RELATIVI delle funzioni a due variabili, procedimento facile, meccanico, veloce... Ora il mio problema sono Quelli assoluti di estremi... Il mio libro dà una serie di passaggi complessi e incomprensibili, e in rete non ho trovato spiegazioni abbastanza chiare. C' è qualcuno che sia capace di spiegarmelo anche con un piccolo esempio?

[gio73]

Ciao, esempi non me ne vengono: prova a postare qualche esercizio o gli esempi che ha fatto l'autore del tuo manuale, poi ci si ragiona insieme.

[Gooose1991]

Subito! Allora, posto un esercizio per iniziare che prendo da un vecchio esame della prof, eccolo qua:

Determinare i punti di min e max assoluti di f in D= {(x,y): 1<= (x^2) + (y^2) <=4 }

[gio73]

d'accordo, ma $f$ quale è?

$f(x;y)=.....$

[Gooose1991]

Hai ragione, chiedo scusa ho dimenticato di trascriverla f(x,y)= (x+y)/sqrt(x^2)+(y^2)

[gio73]

Bene, ho qualche idea, ma prima vorrei sentire le tue.

[Gooose1991]

Guarda, sinceramente non ne ho proprio, non saprei neanche come impostarlo... Oltretutto non penso si svolga con lo stesso procedimento dei massimi e minimi relativi

[gio73]

Una cosa che mi diverte fare con le funzioni in due variabili è cercare di immaginarne il grafico, provo a vedere se riesco a stabilire dove è positiva e dove è negativa e così via. Prova a fare uno studio del segno e a disegnare il dominio dove cerchi i massimi e i minimi, poi ne parliamo.

[Gooose1991]

Purtroppo il programma del corso di analisi 2 che si è appena concluso, non prevedeva lo studio di funzioni a due variabili... Il programma riguardava l' uso generale delle matrici, equazioni differenziali e massimi e minimi relativi e assoluti, perciò non saprei proprio cosa fare, mi servirebbe solo un abbozzo di procedimento riguardo i max e min assoluti...

[gio73]

"Gooose1991":

Determinare i punti di min e max assoluti di f in D= {(x,y): 1<= (x^2) + (y^2) <=4 }

Pensi di riuscire a dirmi che forma ha D?

[Gooose1991]

Guarda, l' esercizio non dice niente di più, wolfram mi suggerisce che è un settore circolare se non sbaglio...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1+ ... 29+%3C%3D4

[gio73]

Allora... l'immagine è quella, ma si chiama corona circolare non settore.
Non credo fosse il caso di scomodare wolfram per riconoscere che
$x^2+y^2=1$
è l'equazione di una circonferenza di raggio 1 e centrata nell'origine, mentre
$x^2+y^2=4$
è sempre una circonferenza centrata nell'origine il cui raggio però è... (rispondi tu).

Tanto per iniziare farei, come ti ho già detto, uno studio del segno (tradotto: vado a vedere dove la funzione è positiva e dove è negativa). Noi abbiamo

$f(x;y)=(x+y)/(sqrt(x^2+y^2))$

il denomitore è sempre.... (positivo o negativo?)

[Gooose1991]

Guarda, con l' aiuto di wolfram ho capito che dovrebbe essere un settore circolare... Ma un procedimento non me lo sapresti spiegare?

[emiliomadonia]

In primo luogo io farei uno studio della funzione , vedendo di che classe è , se esistono punti di non derivabilità e come giustamente affermato da altri lo studio del segno che è sempre utile in caso di analisi locale , etc. Poi vedi se il dominio è un compatto ( chiuso e limitato ) e vedi se puoi applicare qualche teorema dalla teoria. Poi la ricerca dei punti estremali per f la dividerei in tre parti :
- Punti stazionari (Grad. di f=0)
- Punti di frontiera per il dominio
- Eventuali punti singolari.( punti in cui f non è derivabile)

p.s. disegnare il dominio ti aiuta molto

[gio73]

@matr1x02: il dominio lo ha fatto disegnare a wolfram, a mio avviso sarebbe stato meglio che lo facesse lui (l'equazione della circonferenza dovrebbe essere nota dal liceo) e mi sento di insistere: si chiama corona circolare, il settore è uno spicchio.
@Gooose1991: matr1x02 ti ha detto come procedere quando cerchi massimi e minimi in un dominio chiuso e limitato, il primo punto riguarda il gradiente: sai che cos'è?