Massimi e minimi assoluti in 2 variabili con insieme aperto
Salve ragazzi, ho un problema con un esercizio. Di solito mi sono trovato davanti a esercizi in cui si chiedevano gli estremi assoluti di una funzione in 2 variabili ristretta in un dominio chiuso. in questo caso però ho che il dominio è un ramo di iperbole aperto..
La funzione è $f(x,y)=(x-2)^2+y^2$
il dominio è $x>=0$ e $xy>=3sqrt3$
Essendo la mia funzione un paraboloide infinito ristretto in un dominio aperto il massimo assoluto non dovrebbe esserci, ma il minimo si, e cade in (2,0) che non è accettabile per dominio. Quindi il minimo sarà sul bordo del dominio.
Come faccio a trovare le intersezioni tra le due funzioni per trovare il punto di minimo?
Facendo l'intesezione con wolfram mettendo a sistema le due equazioni tornano 4 soluzioni complesse ( http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 ... rt3%3D0%7D ) e non credo sia giusto ecco.. Qualche buon'anima che mi spieghi come fare a trovare in maniera decente quel simpatico punto?
La funzione è $f(x,y)=(x-2)^2+y^2$
il dominio è $x>=0$ e $xy>=3sqrt3$
Essendo la mia funzione un paraboloide infinito ristretto in un dominio aperto il massimo assoluto non dovrebbe esserci, ma il minimo si, e cade in (2,0) che non è accettabile per dominio. Quindi il minimo sarà sul bordo del dominio.
Come faccio a trovare le intersezioni tra le due funzioni per trovare il punto di minimo?
Facendo l'intesezione con wolfram mettendo a sistema le due equazioni tornano 4 soluzioni complesse ( http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 ... rt3%3D0%7D ) e non credo sia giusto ecco.. Qualche buon'anima che mi spieghi come fare a trovare in maniera decente quel simpatico punto?
Risposte
Il dominio è chiuso, non è aperto... caso mai non è limitato.
si scusa, dominio illimitato..hai qualche idea su come possa procedere?
Si procede come al solito, sulla parte interna cerchi i punti stazionari mentre sul bordo, che è un ramo di iperbole, quindi una sottovarietà senza bordo, cerchi i punti stazionari vincolati con i moltiplicatori di Lagrange. Poi alla fine fai le dovute considerazioni per verificare se gli estremi trovati sono assoluti o no.
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