Massimi e minimi assoluti funzioni a 2 variabili
Salve ragazzi;
Sto affrontando esercizi di massimi e minimi assoluti di funzioni a 2 variabili con il vincolo di un equazione. Ma non riesco a capire come si procede dalla determinazione dei massimi e minimi relativi in poi. Cioè una volta trovato i punti critici che devo fare? come posso dire che si tratta di massimo o minimo assoluto? Ho visto il metodo dei moltiplicatori di lagrange, ma non li ha svolti così la prof, ma ha fatto delle restrizioni ai lati della figura ecc... Mi potreste spiegare meglio come si procede? Ah e poi non riesco a capire la differenza tra punti interni ed esterni se li devo considerare allo stesso modo o no. Purtroppo l'eserciziario che ho non fa capire molto bene.
Grazie mille
Sto affrontando esercizi di massimi e minimi assoluti di funzioni a 2 variabili con il vincolo di un equazione. Ma non riesco a capire come si procede dalla determinazione dei massimi e minimi relativi in poi. Cioè una volta trovato i punti critici che devo fare? come posso dire che si tratta di massimo o minimo assoluto? Ho visto il metodo dei moltiplicatori di lagrange, ma non li ha svolti così la prof, ma ha fatto delle restrizioni ai lati della figura ecc... Mi potreste spiegare meglio come si procede? Ah e poi non riesco a capire la differenza tra punti interni ed esterni se li devo considerare allo stesso modo o no. Purtroppo l'eserciziario che ho non fa capire molto bene.
Grazie mille
Risposte
Vediamo un po'... se non vuoi usare i moltiplicatori, allora devi distinguere i due casi:
supposto che tu stia cercando i massimi in una regione racchiusa da una curva $\gamma$, devi cercare i punti stazionari sia dentro gamma che sul contorno.
Per vedere che succede dentro devi uguagliare le derivate parziali a zero e risolvere il sistema. Troverai k punti ${(x_1,y_1),...,(x_k,y_k)}$ a questo punto calcola la funzione in quei punti e segnateli. A questo punto passiamo al contorno.
Supposto che tu abbia l'equazione parametrica di gamma ($\gamma(t)$), ricavati le trasformazioni per passare da x e y alla variabile t. Esempio, mettiamo il caso che sia un triangolo composto da tre rette, devi risolvere a "pezzettini". Costruirai una funzione definita per intervalli. Per esempio hai che il primo lato è la retta x=3y per x che va da 0 a 5, allora il pezzo per la funzione parametrica del bordo da zero a 5 si ottiene sostituendo ad x (in f) 3y. A questo punto trattala come una funzione in una variabile e calcola i punti stazionari. Se hai figure con spigoli (tipo il triangolo) devi inoltre calcolare il valore della funzione nei vertici. A questo punto hai l'elenco dei candidati massimi e minimi e puoi agevolmente trovare max e min assoluto. Per i relativi, devi studiare la funzione in un intorno del punto stazionario. Potresti, ad esempio, ripetere il tutto con un cerchietto attorno al generico (x_k,y_k) e mandare il raggio a zero
supposto che tu stia cercando i massimi in una regione racchiusa da una curva $\gamma$, devi cercare i punti stazionari sia dentro gamma che sul contorno.
Per vedere che succede dentro devi uguagliare le derivate parziali a zero e risolvere il sistema. Troverai k punti ${(x_1,y_1),...,(x_k,y_k)}$ a questo punto calcola la funzione in quei punti e segnateli. A questo punto passiamo al contorno.
Supposto che tu abbia l'equazione parametrica di gamma ($\gamma(t)$), ricavati le trasformazioni per passare da x e y alla variabile t. Esempio, mettiamo il caso che sia un triangolo composto da tre rette, devi risolvere a "pezzettini". Costruirai una funzione definita per intervalli. Per esempio hai che il primo lato è la retta x=3y per x che va da 0 a 5, allora il pezzo per la funzione parametrica del bordo da zero a 5 si ottiene sostituendo ad x (in f) 3y. A questo punto trattala come una funzione in una variabile e calcola i punti stazionari. Se hai figure con spigoli (tipo il triangolo) devi inoltre calcolare il valore della funzione nei vertici. A questo punto hai l'elenco dei candidati massimi e minimi e puoi agevolmente trovare max e min assoluto. Per i relativi, devi studiare la funzione in un intorno del punto stazionario. Potresti, ad esempio, ripetere il tutto con un cerchietto attorno al generico (x_k,y_k) e mandare il raggio a zero
Mi fai un esempio cortesemente? ti propongo io uno semplice di cui già conosco il risultato ma vorrei capire bene tutti i passaggi: F(x,y)= x^2 + y^2
ok, ma mi devi dire il contorno qual è, altrimenti non posso fare un'analisi al bordo! Comunque, mettiamo a sistema le derivate parziali:
$2x=0$
$2y=0$
quindi il punto p=(0;0) è un punto stazionario. Per vedere se è minimo o massimo, possiamo notare come in p la funzione valga 0. Poichè la funzione è sempre positiva, allora deve essere necessariamente un minimo. All'infinito diverge.
$2x=0$
$2y=0$
quindi il punto p=(0;0) è un punto stazionario. Per vedere se è minimo o massimo, possiamo notare come in p la funzione valga 0. Poichè la funzione è sempre positiva, allora deve essere necessariamente un minimo. All'infinito diverge.
si il contorno è il quadrato [0,1]x[0,1]. Ps se la funzione poteva assumera sia valori positivi che negativi come potevamo dire? e se era solo negativa dicevamo che era un massimo?
Allora, se hai un contorno non devi fare niente 
ora ti faccio vedere.
Per quanto riguarda i punti interni abbiamo trovato p(0;0) ed è interno al quadrato, quindi lo possiamo prendere in consideratone. Se avessimo trovato (18;56) lo avremmo scartato perchè fuori dal quadrato. Teniamo da parte p.
Se ho ben capito, la funzione bordo è data da 4 rette:
a)y=0 per x compreso tra 0 e 1
b)x=0 per y copreso tra 0 e 1
c)y=1 per x compreso tra 0 e 1
d)x=1 per y compreso tra 0 e 1
a questo punto parametrizziamo in funzione di t:
caso a:
y=0
x=t
quindi la funzione è f(t)=t^2
ha un minimo per t=0 e poi cresce, quindi un candidato massimo è sul borso, ossia per t=1
per t=0 si ha f=0 (il punto di minimo sul bordo è (0;0))
per t=1 si ha f=1 (il punto di massimo sul bordo è (1;0))
caso b:
stessa identica cosa del caso a, solo che stavolta abbiamo:
(0;0) --> f=0
(1;0) --> f=1
caso c:
y=1
x=0
f(t)=t^2+1
stavolta abbiamo:
(0;1) --> f=1
(1;1) --> f=2
caso d:
analogamente, si ha:
(1;0) --> f=1
(1;1) --> f=2
A questo punto abbiamo trovato i candidati, basta guardarli in faccia per dire che nella regione si ha minimo assoluto in (0;0) e massimo assoluto in (1;1).
Se non avessimo avuto una regione chiusa, avremmo dovuto calcolare la matrice Hessiana e i suoi autovalori.
ora ti faccio vedere.Per quanto riguarda i punti interni abbiamo trovato p(0;0) ed è interno al quadrato, quindi lo possiamo prendere in consideratone. Se avessimo trovato (18;56) lo avremmo scartato perchè fuori dal quadrato. Teniamo da parte p.
Se ho ben capito, la funzione bordo è data da 4 rette:
a)y=0 per x compreso tra 0 e 1
b)x=0 per y copreso tra 0 e 1
c)y=1 per x compreso tra 0 e 1
d)x=1 per y compreso tra 0 e 1
a questo punto parametrizziamo in funzione di t:
caso a:
y=0
x=t
quindi la funzione è f(t)=t^2
ha un minimo per t=0 e poi cresce, quindi un candidato massimo è sul borso, ossia per t=1
per t=0 si ha f=0 (il punto di minimo sul bordo è (0;0))
per t=1 si ha f=1 (il punto di massimo sul bordo è (1;0))
caso b:
stessa identica cosa del caso a, solo che stavolta abbiamo:
(0;0) --> f=0
(1;0) --> f=1
caso c:
y=1
x=0
f(t)=t^2+1
stavolta abbiamo:
(0;1) --> f=1
(1;1) --> f=2
caso d:
analogamente, si ha:
(1;0) --> f=1
(1;1) --> f=2
A questo punto abbiamo trovato i candidati, basta guardarli in faccia per dire che nella regione si ha minimo assoluto in (0;0) e massimo assoluto in (1;1).
Se non avessimo avuto una regione chiusa, avremmo dovuto calcolare la matrice Hessiana e i suoi autovalori.
Grandissimo 
graziee!!!!!
graziee!!!!!
Figurati
L'ultima cosa matt. , ho un esercizio invece dove i massimi e minimi assoluti li devo studiare in un triangolo, ora quando mi restringo al lato obliquo del triangolo di eqauzione y=1-x, una volta risccritta la funzione in funzione di x e questa y, mi ricalcola la derivata prima della funzione ottenuta così, e i punti per cui si annulla tale derivata. Prima non l'abbiamo fatto, perchè? qual'è la differenza??
Lo ho fatto implicitamente, forse non sono stato abbastanza chiaro
Allora, credo che nella regione interna non ci siano problemi. Sul bordo abbiamo parametrizzato e trasformato la funzione in 2 variabili in una funzione in una sola variabile (t). Ora, devi derivare e imporre la derivata prima uguale a zero, come dice giustamente il tuo libro. Perchè non lo ho fatto prima? Perchè ci era saltata fuori f=t^2 che è una bella parabola con vertice nell'origine ed, essendo funzione monotona crescente, era inutile derivare. Ma deriviamo:
f'=2t=0
si annulla solo in 0 (che era infatti un minimo) Poichè hai il vincolo del bordo, il valore da controllare è, appunto, f(1).
Sintetizzando, non lo ho fatto per pigrizia, il metodo rigoroso prevede l'annullamento della derivata prima per la ricerca dei punti stazionari, ma niente ti vieta di inventarti qualche trucchetto o scorciatoia
Allora, credo che nella regione interna non ci siano problemi. Sul bordo abbiamo parametrizzato e trasformato la funzione in 2 variabili in una funzione in una sola variabile (t). Ora, devi derivare e imporre la derivata prima uguale a zero, come dice giustamente il tuo libro. Perchè non lo ho fatto prima? Perchè ci era saltata fuori f=t^2 che è una bella parabola con vertice nell'origine ed, essendo funzione monotona crescente, era inutile derivare. Ma deriviamo:
f'=2t=0
si annulla solo in 0 (che era infatti un minimo) Poichè hai il vincolo del bordo, il valore da controllare è, appunto, f(1).
Sintetizzando, non lo ho fatto per pigrizia, il metodo rigoroso prevede l'annullamento della derivata prima per la ricerca dei punti stazionari, ma niente ti vieta di inventarti qualche trucchetto o scorciatoia
Quindi nel nostro caso per t=0 ok so che ho un minimo, ma ciò che forse non mi mette d'accordo è che ok (1,1) è di massimo ma non abbiamo avuto riscontro con l'annullamento di alcuna derivata? uffa scusa ti sto inceppando il cervello forse
Quindi nel nostro caso per la derivata si annulla in 0, ok so che ho un minimo, ma ciò che forse non mi mette d'accordo è che il massimo trovato in [tex 1;1/tex] non abbiamo avuto riscontro con l'annullamento di alcuna derivata? uffa scusa ti sto inceppando il cervello forse
no fermo... il massimo sta sul bordo perchè il trucco della derivata di permette di trovare i punti stazionari dentro l'intervallo, ma agli estremi devi vedere a mano
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