Massimi e minimi assoluti funzione a due variabili
calcolare massimi e minimi assoluti (se esistono) di \(\displaystyle f(x,y)= 3y (y - x^2) \) su
\(\displaystyle D = \{(x,y) : y<=1-x^2 , x<=y+1\} \)
ho evitato di usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange... così ho fatto derivate parziali prime e seconde ottenendo un punto critico in (0,0), successivamente ho calcolato il determinante della matrice Hessiana e mi è venuto uguale a zero... quindi ora non so dire se si tratta di un punto di massimo o di minimo... cosa faccio?
\(\displaystyle D = \{(x,y) : y<=1-x^2 , x<=y+1\} \)
ho evitato di usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange... così ho fatto derivate parziali prime e seconde ottenendo un punto critico in (0,0), successivamente ho calcolato il determinante della matrice Hessiana e mi è venuto uguale a zero... quindi ora non so dire se si tratta di un punto di massimo o di minimo... cosa faccio?
Risposte
Di solito quando si tratta di massimi e minimi assoluti non si utilizza la matrice Hessiana perchè il procedimento è molto più semplice. Devi dividere lo studio dei punti all'interno del dominio e sul bordo. Prima cosa fai il disegno del tuo dominio, poi le derivate parziali e inizi a trovare gli eventuali candidati ad essere massimi e minimi all'interno e ti calcoli le loro immagini tramite f.
Per quanto riguarda quelli sul bordo mi sa che non puoi usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange quindi o ti conviene parametrizzare la curva che descriva il bordo oppure cerchi di capire come è fatto il bordo stesso, che nel nostro caso dovrebbe essere un pezzo di parabola e un pezzo di retta $y=x-1$.
Per quanto riguarda quelli sul bordo mi sa che non puoi usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange quindi o ti conviene parametrizzare la curva che descriva il bordo oppure cerchi di capire come è fatto il bordo stesso, che nel nostro caso dovrebbe essere un pezzo di parabola e un pezzo di retta $y=x-1$.
ok, grazie mille ora ci provo!
scusami... ma ho trovato un punto critico in (0,0) la cui immagine è 0.
Ho visto che appartiene a D, ma ora come lo distinguo se è max o min?
Ho visto che appartiene a D, ma ora come lo distinguo se è max o min?
Tienilo li per ora. Ora passa allo studio sul bordo.
Una volta che avrai trovato tutti i punti li confronti tra loro, quello che ha l'immagine più grande sarà il massimo assoluto, quello che avrà immagine più piccola sarà il minimo assoluto e tutto il resto saranno relativi. Lo studio con l'Hessiano invece ti permette in un certo senso di farne una classificazione e dire addirittura se sono punti sella, qui invece ti serve trovare solo il max e min assoluto.
Una volta che avrai trovato tutti i punti li confronti tra loro, quello che ha l'immagine più grande sarà il massimo assoluto, quello che avrà immagine più piccola sarà il minimo assoluto e tutto il resto saranno relativi. Lo studio con l'Hessiano invece ti permette in un certo senso di farne una classificazione e dire addirittura se sono punti sella, qui invece ti serve trovare solo il max e min assoluto.
sto continuando lo studio della funzione ma ancora non l'ho finito... scrivo per dirti dove sono arrivato e avere conferme...
ho parametrizzato il bordo ottenendo due funzioni parametriche (ti poso solo quella della retta, sulla quale sto attualmente lavorando):
$D_1$ = ${ (t,t-1) : t $$\epsilon$$ [-1,1] }$
$Y(t)=f(t,t-1)=t^3-2t+1$
$Y'(t)=3t^2-2 -> 3t^2-2=0 -> t_1=sqrt(2/3), t_2=-sqrt(2/3)$
dove $t_1$ è punto di max e $t_2$ è punto di min...
Devo fare ancora lo studio del bordo del pezzo di parabola... e poi?
EDIT:
Ho completato lo studio anche della parabola:
$D_2$ = ${ (t,1-t^2) : t $$\epsilon$$ [-1,1] }$
$Y(t)=f(t,1-t^2)=2t^4-3t^2-+1$
$Y'(t)=8t^3-6t ->8t^3-6t=0 -> t_3=0, t_4=sqrt(3/4), t_5=-sqrt(3/4)$
dove $t_3$ è di min, $t_4$ è di max e $t_5$ è di max.
avevo pensato ora di sostituire le varie t che ho trovato nella funzione per ottenere l'immagine dei vari estremi come mi avevi detto e poi scegliere gli assoluti:
ad es. scegliendo $t_4$ avrò il punto di estremo $C=(sqrt(3/4),1/4)$ e ora volevo calcolare $f(C)=f(sqrt(3/4),1/4)$ vedere quanto è, e continuare con ogni punto trovato... giusto?
ho parametrizzato il bordo ottenendo due funzioni parametriche (ti poso solo quella della retta, sulla quale sto attualmente lavorando):
$D_1$ = ${ (t,t-1) : t $$\epsilon$$ [-1,1] }$
$Y(t)=f(t,t-1)=t^3-2t+1$
$Y'(t)=3t^2-2 -> 3t^2-2=0 -> t_1=sqrt(2/3), t_2=-sqrt(2/3)$
dove $t_1$ è punto di max e $t_2$ è punto di min...
Devo fare ancora lo studio del bordo del pezzo di parabola... e poi?
EDIT:
Ho completato lo studio anche della parabola:
$D_2$ = ${ (t,1-t^2) : t $$\epsilon$$ [-1,1] }$
$Y(t)=f(t,1-t^2)=2t^4-3t^2-+1$
$Y'(t)=8t^3-6t ->8t^3-6t=0 -> t_3=0, t_4=sqrt(3/4), t_5=-sqrt(3/4)$
dove $t_3$ è di min, $t_4$ è di max e $t_5$ è di max.
avevo pensato ora di sostituire le varie t che ho trovato nella funzione per ottenere l'immagine dei vari estremi come mi avevi detto e poi scegliere gli assoluti:
ad es. scegliendo $t_4$ avrò il punto di estremo $C=(sqrt(3/4),1/4)$ e ora volevo calcolare $f(C)=f(sqrt(3/4),1/4)$ vedere quanto è, e continuare con ogni punto trovato... giusto?
e poi ti calcoli le rispettive immagini, e quello che ha l'immagine più grande è il massimo assoluto, quello che ha l'immagine più piccola è il minimo assoluto, a patto che quei punti stiano nel dominio dato dall'esercizio.
scusa se ti rompo... ma non so se hai letto il messaggio che ho scritto dopo la modifica, perché ho fatto un'esempio e volevo sapere se andava bene il procedimento.
Si tendenzialmente vale sempre questo ragionamento.
Tolti i conti così funziona...
Tolti i conti così funziona...
ok! grazie mille!!!! non sai che dubbio grande mi hai tolto!
Figurati 
scusate se ritorno su questo post, ma ho un esercizio che non mi torna e non so se sbaglio i conti o il procedimento...
l'esercizio è lo stesso di quello iniziale, devo calcolare max e min assoluti di $f(x,y)=x^2+2y^2-xy$ in $D={0<=x<=y<=1}$
ecco come l'ho svolto:
$grad f(x,y)=(2x-y,4y-x)$
$\{(2x-y=0),(4y-x=0):} A(0,0)$, quindi A è il primo estremo che ho trovato, ora parametrizzo il perimetro di D:
1)$Y_1(t)=(t,1):0<=t<=1$
$f(Y_1(t))=t^2+2-t $
$f'(Y_1(t))=2t-1, f'(Y_1(t))=0$ se e solo se $t=1/2$ quindi un'altro estremo è $B(1/2,1)$
2)$Y_2(t)=(0,t):0<=t<=1$
$f(Y_2(t))=2t^2$
$f'(Y_2(t))=4t, f'(Y_2(t))=0$ se e solo se $t=0$ quindi ho ritrovato $A(0,0)$
3)$Y_3(t)=(t,t):0<=t<=1$
$f(Y_3(t))=t^2+2t^2-t^2=t^2 $
$f'(Y_3(t))=4t, f'(Y_3(t))=0$ se e solo se $t=0$ quindi ho ritrovato $A(0,0)$
quindi:
$f(A)=0,f(B)=7/4$ e quindi A è un massimo e B è un minimo.
Ora... so che non mi torna perché su Wolfram|Alpha, su cui mi baso molto spesso, gli tornano degli estremi diversi, vi posto il link:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ex ... 3Dy%3C%3D1
Dove sbaglio?
e un'altra domanda: per calcolare gli estremi sul perimetro di D posso utilizzare anche i moltiplicatori di Lagrange?
l'esercizio è lo stesso di quello iniziale, devo calcolare max e min assoluti di $f(x,y)=x^2+2y^2-xy$ in $D={0<=x<=y<=1}$
ecco come l'ho svolto:
$grad f(x,y)=(2x-y,4y-x)$
$\{(2x-y=0),(4y-x=0):} A(0,0)$, quindi A è il primo estremo che ho trovato, ora parametrizzo il perimetro di D:
1)$Y_1(t)=(t,1):0<=t<=1$
$f(Y_1(t))=t^2+2-t $
$f'(Y_1(t))=2t-1, f'(Y_1(t))=0$ se e solo se $t=1/2$ quindi un'altro estremo è $B(1/2,1)$
2)$Y_2(t)=(0,t):0<=t<=1$
$f(Y_2(t))=2t^2$
$f'(Y_2(t))=4t, f'(Y_2(t))=0$ se e solo se $t=0$ quindi ho ritrovato $A(0,0)$
3)$Y_3(t)=(t,t):0<=t<=1$
$f(Y_3(t))=t^2+2t^2-t^2=t^2 $
$f'(Y_3(t))=4t, f'(Y_3(t))=0$ se e solo se $t=0$ quindi ho ritrovato $A(0,0)$
quindi:
$f(A)=0,f(B)=7/4$ e quindi A è un massimo e B è un minimo.
Ora... so che non mi torna perché su Wolfram|Alpha, su cui mi baso molto spesso, gli tornano degli estremi diversi, vi posto il link:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ex ... 3Dy%3C%3D1
Dove sbaglio?
e un'altra domanda: per calcolare gli estremi sul perimetro di D posso utilizzare anche i moltiplicatori di Lagrange?
Tu stai cercando Max e min assoluti.
Quando li cerchi sul bordo cioè sui lati del triangolo devi ricordarti di fare il test anche sui vertici in quanto il metodo che usi ( peraltro corretto) non ti dice nulla su quello che succede sugli spigoli.
Devi poi fare un confronto tra i valori che ottieni nei punti di max ( e di min ) per vedere quale è il valore max assoluto della funzione ( o di min assoluto).
Ad esempio il punto B che tu determini di coordinate $(1/2,1 )$ fornisce poi un valore per $f(x,y) = 2-1/4 $ mentre il punto $(1,1)$ fornisce $f= 2 >2-1/4 $ Quindi B non può essere punto di max assoluto.
Quando li cerchi sul bordo cioè sui lati del triangolo devi ricordarti di fare il test anche sui vertici in quanto il metodo che usi ( peraltro corretto) non ti dice nulla su quello che succede sugli spigoli.
Devi poi fare un confronto tra i valori che ottieni nei punti di max ( e di min ) per vedere quale è il valore max assoluto della funzione ( o di min assoluto).
Ad esempio il punto B che tu determini di coordinate $(1/2,1 )$ fornisce poi un valore per $f(x,y) = 2-1/4 $ mentre il punto $(1,1)$ fornisce $f= 2 >2-1/4 $ Quindi B non può essere punto di max assoluto.
come faccio a trovare gli estremi sugli spigoli?
il punto (1,1) l'hai trovato controllando lo spigolo giusto?
il punto (1,1) l'hai trovato controllando lo spigolo giusto?
Gli spigoli vanno sempre controllati tutti , nel senso che va sempre verificato che valore assume la funzione negli spigoli.
Qui, il dominio è un triangolo , quindi gli spigoli sono 3 : $(0,0) ; (0,1) ; (1,1) $.
In generale per un problema di max e min assoluti in un dominio devi cercare i punti di max e min ( relativi ) eventualmnete presenti nel dominio( annullando il gradiente) e tabulare il valore assunto dalla funzione ; poi cerchi eventuali max e min sui bordi del dominio e ne tabuli i valori ; ultimo determina i valori assunti dalla funzione negli spigoli.
A questo punto confrontando tra loro i vari valori potrai determinare i punti di max e min assoluti nel dominio. ok ?
Qui, il dominio è un triangolo , quindi gli spigoli sono 3 : $(0,0) ; (0,1) ; (1,1) $.
In generale per un problema di max e min assoluti in un dominio devi cercare i punti di max e min ( relativi ) eventualmnete presenti nel dominio( annullando il gradiente) e tabulare il valore assunto dalla funzione ; poi cerchi eventuali max e min sui bordi del dominio e ne tabuli i valori ; ultimo determina i valori assunti dalla funzione negli spigoli.
A questo punto confrontando tra loro i vari valori potrai determinare i punti di max e min assoluti nel dominio. ok ?
Ti consiglio di leggere la " ricetta " di Fioravante Patrone che trovi qui
massimi-e-minimi-assoluti-t51741.html?hilit=max min assoluti
ove dice : io farei così:
massimi-e-minimi-assoluti-t51741.html?hilit=max min assoluti
ove dice : io farei così:
lui dice:
"- cerco i punti interni al rettangolo in cui si annulla il gradiente
- studio la funbzione sui lati e vedo dove si annulla la derivata (della funzione di una variabile che mi ritrovo)
- prendo i 4 vertici "
ora io faccio i primi due punti e a quanto mi hai detto lo faccio bene.
Il mio dubbio è sul terzo punto: prendo i vertici (nel mio caso sono 3) e faccio direttamente f(V), (considero V come un vertice generico) su ogni vertice e li confronto con f(A), e f(B), che ho già calcolato precedentemente?
o c'è qualche altra cosa che devo fare sui vertici?
"- cerco i punti interni al rettangolo in cui si annulla il gradiente
- studio la funbzione sui lati e vedo dove si annulla la derivata (della funzione di una variabile che mi ritrovo)
- prendo i 4 vertici "
ora io faccio i primi due punti e a quanto mi hai detto lo faccio bene.
Il mio dubbio è sul terzo punto: prendo i vertici (nel mio caso sono 3) e faccio direttamente f(V), (considero V come un vertice generico) su ogni vertice e li confronto con f(A), e f(B), che ho già calcolato precedentemente?
o c'è qualche altra cosa che devo fare sui vertici?
Prendendo i 3 vertici calcoli quanto vale la funzione in quei 3 punti e paragoni con i valori assunti nei punti già determinati : a questo punto sai quali sono i punti di max assoluto e di minimo assoluto.
In sintesi :
* l'annullamento del gradiente porta a determinare un solo punto $(0,0) $ che però non è interno al dominio e quindi non lo considero per il momento.
*considero ora il bordo del dominio cioè i lati del triangolo:
** lato $(0,0) ; ( 0,1)$ , la funzione sul lato diventa $f(0,y)=2y^2 ; f' =4y=0 $ per $y=0$ , il punto è $(0,0)$ che è un vertice elo valuto con i vertici
** lato $ (0,0) ;( 1,1)$ , la funzione sul lato vale $f(x,x)= 2x^2 ; f'(x)= 4x =0 $ per $x=0 $ si ritrova ancora il vertice di prima.
** lato$(0,1);(1,1) $ la funzione sul lato vale $f(x,1)=x^2+2-x;f'(x)=2x-1=0 $ per $x=1/2$ ; determina quindi il punto $(1/2,1)$ ; essendo $f''(x)= 2 >0 $ sarà un punto di minimo ma solo relativo o assoluto ??
calcolo il valore della funzione $f(1/2,1)=7/4 $ che non è certo un punto di minimo assoluto ma solo relativo in quanto $f(0,0)=0 $.
* resta da valutare la funzione nei vertici : $f(0,0)=0 ; f( 0,1)= 2 ;f(1,1)=2 $
quindi $(0,0) $ è punto di minimo assoluto mentre $(0,1) ; (1,1 ) $ sono punti di max assoluto.
In sintesi :
* l'annullamento del gradiente porta a determinare un solo punto $(0,0) $ che però non è interno al dominio e quindi non lo considero per il momento.
*considero ora il bordo del dominio cioè i lati del triangolo:
** lato $(0,0) ; ( 0,1)$ , la funzione sul lato diventa $f(0,y)=2y^2 ; f' =4y=0 $ per $y=0$ , il punto è $(0,0)$ che è un vertice elo valuto con i vertici
** lato $ (0,0) ;( 1,1)$ , la funzione sul lato vale $f(x,x)= 2x^2 ; f'(x)= 4x =0 $ per $x=0 $ si ritrova ancora il vertice di prima.
** lato$(0,1);(1,1) $ la funzione sul lato vale $f(x,1)=x^2+2-x;f'(x)=2x-1=0 $ per $x=1/2$ ; determina quindi il punto $(1/2,1)$ ; essendo $f''(x)= 2 >0 $ sarà un punto di minimo ma solo relativo o assoluto ??
calcolo il valore della funzione $f(1/2,1)=7/4 $ che non è certo un punto di minimo assoluto ma solo relativo in quanto $f(0,0)=0 $.
* resta da valutare la funzione nei vertici : $f(0,0)=0 ; f( 0,1)= 2 ;f(1,1)=2 $
quindi $(0,0) $ è punto di minimo assoluto mentre $(0,1) ; (1,1 ) $ sono punti di max assoluto.
grazie mille!!! ora ho finalmente capito completamente(spero xD)! grazie anche per la risposta completa!
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