Massimi e minimi assoluti e immagine di una funzione
Salve a tutti.
Dunque, vorrei risolvere il seguente esercizio:
" Calcolare il massimo e il minimo assoluti e l'immagine della funzione:
$f(x)=e^-x(x+1)^2$
nell'intervallo $[-2,2]$ ".
Punto a - Massimi e minimi assoluti
Dopo aver osservato che la funzione è definita ovunque, in R, espongo la mia strategia: mi studio il segno di f'(x) per individuare gli intervalli di crescenza e decrescenza di f(x) e gli eventuali massimi e minimi relativi. Quindi vado a verificare se i valori che la funzione assume agli estremi dell'intervallo possono essere massimi o minimi assoluti.
$f'(x)=2(x+1)e^-x-e^-x(x+1)^2$
Raccogliendo l'esponenziale decrescente a fattor comune:
$f'(x)=e^-x[2x+2-(x+1)^2]=e^-x(1-x^2)$
Dal momento che l'esponenziale è sempre positiva, sia crescente che decrescente, allora avremo che la derivata prima di f(x) sarà positiva se e solo se:
$1-x^2>0$
ovvero:
$x^2<1$ cioè quando: $-1
Avremo, pertanto, che:
- per x<-1 f(x) è decrescente;
- per -1
Ciò significa che x=-1 è un minimo relativo della funzione ed x=1 è un massimo relativo della medesima. I valori assunti da tali estremi sono:
$f(-1)=0$ e $ f(1)=4/e$
Siccome nell'intervallo $[-2,-1]$ la f(x) è decrescente vuol dire che per x=-2 essa assume il massimo: $f(-2)=e^2$. Tale estremo risulta superiore al massimo relativo f(1) e, quindi, si conclude che: f(-2) è il massimo assoluto della funzione nell'intervallo in esame.
Considerazioni analoghe alle precedenti ci portano a calcolare il minimo di f(x) per x=2. Si trova: $f(2)=9/e^2$. Valore poco maggiore di 1 che porta a concludere che il minimo assoluto, invece, corrisponde a: $f(-1)=0$.
Punto b - Immagine della funzione
Qui le mie idee sono meno chiare. Se ho capito bene, l'immagine di una funzione corrisponde al codominio della medesima (nell'intervallo eventualmente considerato). Stante l'analisi svolta, e non so come scriverlo formalmente, l'immagine di f è:
$0
Attendo correzioni, precisazioni e qualunque altra considerazione possa essermi di aiuto per la comprensione della materia.
Grazie.
Dunque, vorrei risolvere il seguente esercizio:
" Calcolare il massimo e il minimo assoluti e l'immagine della funzione:
$f(x)=e^-x(x+1)^2$
nell'intervallo $[-2,2]$ ".
Punto a - Massimi e minimi assoluti
Dopo aver osservato che la funzione è definita ovunque, in R, espongo la mia strategia: mi studio il segno di f'(x) per individuare gli intervalli di crescenza e decrescenza di f(x) e gli eventuali massimi e minimi relativi. Quindi vado a verificare se i valori che la funzione assume agli estremi dell'intervallo possono essere massimi o minimi assoluti.
$f'(x)=2(x+1)e^-x-e^-x(x+1)^2$
Raccogliendo l'esponenziale decrescente a fattor comune:
$f'(x)=e^-x[2x+2-(x+1)^2]=e^-x(1-x^2)$
Dal momento che l'esponenziale è sempre positiva, sia crescente che decrescente, allora avremo che la derivata prima di f(x) sarà positiva se e solo se:
$1-x^2>0$
ovvero:
$x^2<1$ cioè quando: $-1
Avremo, pertanto, che:
- per x<-1 f(x) è decrescente;
- per -1
Ciò significa che x=-1 è un minimo relativo della funzione ed x=1 è un massimo relativo della medesima. I valori assunti da tali estremi sono:
$f(-1)=0$ e $ f(1)=4/e$
Siccome nell'intervallo $[-2,-1]$ la f(x) è decrescente vuol dire che per x=-2 essa assume il massimo: $f(-2)=e^2$. Tale estremo risulta superiore al massimo relativo f(1) e, quindi, si conclude che: f(-2) è il massimo assoluto della funzione nell'intervallo in esame.
Considerazioni analoghe alle precedenti ci portano a calcolare il minimo di f(x) per x=2. Si trova: $f(2)=9/e^2$. Valore poco maggiore di 1 che porta a concludere che il minimo assoluto, invece, corrisponde a: $f(-1)=0$.
Punto b - Immagine della funzione
Qui le mie idee sono meno chiare. Se ho capito bene, l'immagine di una funzione corrisponde al codominio della medesima (nell'intervallo eventualmente considerato). Stante l'analisi svolta, e non so come scriverlo formalmente, l'immagine di f è:
$0
Attendo correzioni, precisazioni e qualunque altra considerazione possa essermi di aiuto per la comprensione della materia.
Grazie.
Risposte
Poiché la tua funzione è continua, assume tutti e soli i valori compresi tra il suo massimo e il suo minimo, quindi $0<=f(x)<=e^2$
Stai attento perché nella tua soluzione finale non hai messo gli $=$, che invece ci vanno.
Il resto mi pare impeccabile, manca solo la precisazione che la funzione è continua e derivabile nell'intervallo considerato e solo per tale motivo hai potuto procedere in quel modo.
Stai attento perché nella tua soluzione finale non hai messo gli $=$, che invece ci vanno.
Il resto mi pare impeccabile, manca solo la precisazione che la funzione è continua e derivabile nell'intervallo considerato e solo per tale motivo hai potuto procedere in quel modo.
Stai attento perché nella tua soluzione finale non hai messo gli , che invece ci vanno.
Ciao Amelia,
d'accordo per l'inclusione degli estremi dell'intervallo di codominio.
Qualche dubbio, invece, sull'affermazione precedente:
Non è sufficiente la condizione di continuità?
Grazie.
d'accordo per l'inclusione degli estremi dell'intervallo di codominio.
Qualche dubbio, invece, sull'affermazione precedente:
manca solo la precisazione che la funzione è continua e derivabile nell'intervallo considerato e solo per tale motivo hai potuto procedere in quel modo.
Non è sufficiente la condizione di continuità?
Grazie.
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