Massimi e minimi assoluti di una funzione in un intervallo

[xaler]

Salve avevo dei dubbi riguardo il calcolo del massimo e minimo assoluto di una funzione in un intervallo...
se l'intervallo di una funzione è chiuso per calcolare il massimo e minimo si fa così:
1) calcolo il valore della funzione agli estremi dell'intervallo chiuso
2) calcolo il valore della x per il quale la derivata vale 0
3) prendo il più piccolo e il più grande di questi numeri e trovo il massimo e minimo.
giusto?
Adesso ho un paio di domande:
1) se l'intervallo è semi-aperto?
2) se uno dei due estremi dell'intervallo (o tutti e due) valgono + o - infinito?
Ma le domande che più mi assillano sono:
1) se il valore della funzione in corrispondenza degli estremi da lo stesso valore per entrambi gli estremi ? calcolo la derivata ?
2) se la derivata della funzione vale 0 per un valore della x per il quale la funzione assume un valore uguale a quello che assumerebbe in un'estremo ?

faccio un esempio di un esercizio che mi è capitato:

\(\displaystyle f(x)=lnsen(x) - 2sen(x) \) definita nell'intervallo \(\displaystyle (0,\pi/2] \)

Il massimo è \(\displaystyle -1-ln2 \) in corrispondenza di \(\displaystyle \pi/6 \)
il minimo non esiste
non ho capito ne come si sia trovato il massimo (cioè devo provare per qualsiasi numero dell'intervallo fin quando non ne trovo uno che va bene ? non mi sembra molto pratico come metodo... cioè capisco che \(\displaystyle \pi/6 \) è il massimo ma non saprei come arrivarci ad una conclusione simile) ne come si sia trovato il minimo...
qualche delucidazione ? sono sempre più convinto di dover dare l'esame al secondo appello

[poncelet]

Per trovare massimi e minimi ti devi calcolare la derivata e studiarne il segno. Nel tuo caso hai:

\(f(x)=\ln(\sin x)-2\sin x \)

\(f'(x)=\frac{\cos x}{\sin x}-2\cos x = \frac{\cos x-2\sin x\cos x}{\sin x}=\frac{\cos x(1-2\sin x)}{\sin x}\)

Siccome sei nel primo quadrante hai che \(\cos x\) e \(\sin x\) sono sempre positivi mentre \(1-2\sin x\) è positiva per \(0

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