Massimi e minimi assoluti di una funzione di 2 variabili
Ciao a tutti,
sto facendo esercizi sulla determinazione di massimi e minimi assoluti di funzioni di 2 variabili all'interno di un dominio (ad esempio un quadrato, un rettangolo ecc...). Penso di aver capito abbastanza bene la procedura ma, talvolta, ho dei problemi con delle banalità.. credo sia il caso dell'esercizio che sto per proporvi.
Devo calcolare gli estremi assoluti della funzione: $ f(x,y)=(x^2-y)^3 $
nel dominio: $ D = {(x,y)\inR^2:y\leq3-x,y\leq3+x,y\geq0} $
Procedo sempre in questo modo:
1 prima di tutto disegno il dominio , in questo caso una porzione di piano compresa tra 3 rette (un triangolo
);
2 poi verifico che per Weierstrass esistano sicuramente punti di minimo e massimo assoluti;
3 dunque studio prima l'interno del dominio, uguagliando a 0 il gradiente della funzione e poi la frontiera.
In questo caso, uguagliando a 0 il gradiente, ottengo: $ f_x=6x(x^2-y)^2=0 $ e $ f_y=-3(x^2-y)^2=0 $
La prima si annulla per: $ x=0 $ e $ x^2=y $ mentre la seconda solo per: $ x^2=y $
A questo punto non riesco a ragionare, perché dovrei trovare i punti critici interni al dominio che sono quelli che annullano il gradiente ma ottengo una parabola, per cui infiniti punti critici interni (sbaglio?), come devo ragionare correttamente?
Ogni volta che mi si presenta una situazione del genere mi blocco in questo punto.
Vi ringrazio per l'attenzione.
P.s.:sono nuovo del forum, mi scuso anticipatamente per eventuali errori fatti, accetto volentieri consigli
P.s.2: come si fanno i pedici nelle formule?
sto facendo esercizi sulla determinazione di massimi e minimi assoluti di funzioni di 2 variabili all'interno di un dominio (ad esempio un quadrato, un rettangolo ecc...). Penso di aver capito abbastanza bene la procedura ma, talvolta, ho dei problemi con delle banalità.. credo sia il caso dell'esercizio che sto per proporvi.
Devo calcolare gli estremi assoluti della funzione: $ f(x,y)=(x^2-y)^3 $
nel dominio: $ D = {(x,y)\inR^2:y\leq3-x,y\leq3+x,y\geq0} $
Procedo sempre in questo modo:
1 prima di tutto disegno il dominio , in questo caso una porzione di piano compresa tra 3 rette (un triangolo
);2 poi verifico che per Weierstrass esistano sicuramente punti di minimo e massimo assoluti;
3 dunque studio prima l'interno del dominio, uguagliando a 0 il gradiente della funzione e poi la frontiera.
In questo caso, uguagliando a 0 il gradiente, ottengo: $ f_x=6x(x^2-y)^2=0 $ e $ f_y=-3(x^2-y)^2=0 $
La prima si annulla per: $ x=0 $ e $ x^2=y $ mentre la seconda solo per: $ x^2=y $
A questo punto non riesco a ragionare, perché dovrei trovare i punti critici interni al dominio che sono quelli che annullano il gradiente ma ottengo una parabola, per cui infiniti punti critici interni (sbaglio?), come devo ragionare correttamente?
Ogni volta che mi si presenta una situazione del genere mi blocco in questo punto.
Vi ringrazio per l'attenzione.
P.s.:sono nuovo del forum, mi scuso anticipatamente per eventuali errori fatti, accetto volentieri consigli
P.s.2: come si fanno i pedici nelle formule?
Risposte
Ciao e benvenuto su forum,
non mi tornano le derivate parziali (secondo me bisogna moltiplicare per 3 e non per 2), ti faccio vedere così utilizzando il tasto "cita" in alto a destra, puoi vedere come ho inserito i pedici
$f_x=6x(x^2-y)^2$
$f_y=-3(x^2-y)^2$
Per stabilire la natura dei punti critici che si trovano lungo la parabola io farei uno studio del segno della nostra funzione, che ne dici?
non mi tornano le derivate parziali (secondo me bisogna moltiplicare per 3 e non per 2), ti faccio vedere così utilizzando il tasto "cita" in alto a destra, puoi vedere come ho inserito i pedici
$f_x=6x(x^2-y)^2$
$f_y=-3(x^2-y)^2$
Per stabilire la natura dei punti critici che si trovano lungo la parabola io farei uno studio del segno della nostra funzione, che ne dici?
Ciao,
si ho sbagliato io battendo, ho corretto e ho imparato a fare i pedici , grazie!
Che informazione potrei avere dallo studio del segno? Non sarebbero tutti punti critici quelli giacenti sulla parabola?
si ho sbagliato io battendo, ho corretto e ho imparato a fare i pedici , grazie!
Che informazione potrei avere dallo studio del segno? Non sarebbero tutti punti critici quelli giacenti sulla parabola?
Sì sono punti critici devi stabilirne la natura, prova a fare lo studio del segno e poi ci risentiamo.
Ciao, siccome sto studiando anche io questi argomenti, ho provato a risolverlo. Intanto mi sono graficato la limitazione del dominio su cui trovare gli estremi, e ho visto la limitazione è formata da un triangolo, con $x [-3;3] , y [0;3] $
Il grandiente della $f(x,y)$ si annulla nei punti appartenenti alla parabola $y=x^2$ e nel punto $P=(0;0)$ comunque sempre appartenente alla parabola.
Poichè $f(0,0) = 0 $ non mi resta che studiare il segno, e vedo che per i punti "sopra la parabola" essa è positiva mentre per gli altri la funzione è negativa, quindi posso concludere dicendo che tutti i punti sulla parabola sono di colle. (felice di sbagliarmi in ogni caso).
Non mi resta che studiare la frontiera, considerando sempre la limitazione delle x al triangolino. Guardo sulla frontiera formata dalla retta $y = 3 + x $ quindi avrò $f(x,y) = f(x,3+x) $ e anche sull'altra retta.
Devo ancora svolgere questi calcoli, sto procedendo in maniera corretta?
Il grandiente della $f(x,y)$ si annulla nei punti appartenenti alla parabola $y=x^2$ e nel punto $P=(0;0)$ comunque sempre appartenente alla parabola.
Poichè $f(0,0) = 0 $ non mi resta che studiare il segno, e vedo che per i punti "sopra la parabola" essa è positiva mentre per gli altri la funzione è negativa, quindi posso concludere dicendo che tutti i punti sulla parabola sono di colle. (felice di sbagliarmi in ogni caso).
Non mi resta che studiare la frontiera, considerando sempre la limitazione delle x al triangolino. Guardo sulla frontiera formata dalla retta $y = 3 + x $ quindi avrò $f(x,y) = f(x,3+x) $ e anche sull'altra retta.
Devo ancora svolgere questi calcoli, sto procedendo in maniera corretta?
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